Die Mathe-Redaktion - 28.03.2020 10:32 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 556 Gäste und 22 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Spock
Physik » Schwingungen und Wellen » Überlagerung Wellen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Überlagerung Wellen
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-11-03


Hallo, ich habe die Aufgabe:
Gegeben sei eine unendliche Folgen von Funktionen <math>\phi_i</math> die jeweils Lösung der eindimensionalen Wellengleichung sind. Zeigen Sie das jede unendlich oft stetig differenzierbare Summe <math>\phi_\mathrm{sum}=\sum_{i=0}^{\infty}a_i\phi_i</math> wieder die Wellengleichung erfüllt.

Es handelt sich hierbei wohl um Superposition. Das heißt, es hat die Form <math>\phi(x,t)=\phi_1(x,t)+\phi_2(x,t)+...+\phi_n(x,t)</math>.
Ich sehe allerdings noch nicht wie ich das auf die Wellengleichung sagen wir in x-Richtung anwenden kann.
<math>\displaystyle \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}</math>

Kann mir jemand helfen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-03


Hat niemand eine Idee?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10701
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2015-11-03


Hallo bond,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Die <math>\phi_i</math> sind ja Lösungen der Wellengleichung. Was bedeutet das für endliche Summen wie in Deiner zweiten Formel?

Bei der unendlichen Summe ist die zweifache stetige Differenzierbarkeit wichtig. Warum?

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
PS: Wenn Du etwas mehr zum Hintergrund Deiner Frage (z.B. aus welcher Vorlesung welches Studiums sie kommt) und Deinem Vorwissen (z.B. in Deinem Profil) schreibst, können wir Dir gezielter antworten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Perlsago
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.01.2014
Mitteilungen: 568
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2015-11-03


Hi bond, zur Überlegung: Ich würde die Wellengleichung bewusst mal wie folgt schreiben:

<math>\displaystyle \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = 0</math>

Was passiert, wenn du <math>\phi (x,t) = \sum_i \phi_i</math> partiell ableitest?
Falls die <math>a_i</math> konstante Faktoren sind ... was passiert mit diesen in der Wellengleichung?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-03


Hallo Perlsago,

das müsste nun folgendermaßen aussehen:

<math>\frac{\partial^2\phi(x,t)}{\partial x^2}=\sum_ia_i\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}</math>

Für die Ableitung nach der Zeit dann ähnlich:


<math>\frac{\partial^2\phi(x,t)}{\partial t^2}=\sum_i a_i\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}</math>

Inwiefern bringt mich das denn weiter?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Perlsago
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.01.2014
Mitteilungen: 568
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2015-11-03


Siehe Beitrag No.2.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-03


2015-11-03 20:04 - rlk in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo bond,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Die <math>\phi_i</math> sind ja Lösungen der Wellengleichung. Was bedeutet das für endliche Summen wie in Deiner zweiten Formel?

Das ist die Superposition von Wellen. die neue Welle die aus Überlagerung der jeweiligen Wellen entsteht muss ebenfalls wieder eine Lösung der Wellengleichung sein.

2015-11-03 20:04 - rlk in Beitrag No. 2 schreibt: Bei der unendlichen Summe ist die zweifache stetige Differenzierbarkeit wichtig. Warum?

Also zweifach diff'bar muss sie schon aus dem Grund sein da man sonst die Wellengleichung nicht erüllen könnte. Ich habe auch in meinen Beitrag 4 die Ableitung und die Integration vertauscht da bin ich mir allerdings auch nicht sicher warum bzw. ob man das darf.

Das müsste in die DGL eingesetzt werden. Wenn ich das einmal mache:
<math>\sum_ia_i\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\sum_i a_i\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}=0</math>

soweit bin ich schon allerdings sehe ich hier nicht warum hier Gleichheit gelten muss. Das ist die einzige Möglichkeit das Null herauskommt.

PS. Danke für die freundliche Begrüßung.  😄



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10701
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2015-11-04


Hallo bond,
2015-11-03 21:30 - bond in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich habe auch in meinen Beitrag 4 die Ableitung und die Integration vertauscht da bin ich mir allerdings auch nicht sicher warum bzw. ob man das darf.
ich nehme an, Du meinst Summation statt Integration.

Welche Sätze zur Vertauschbarkeit habt ihr gelernt?

Für die Partialsummen gilt ja wegen der Linearität der Wellengleichung

<math>\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\sum_{i=0}^n a_i\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}=\sum_{i=0}^n a_i\big(\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}\big)=0</math>

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-04


Hallo Roland, wie ich das sehe ist das nur erfüllt wenn entweder <math>a_i=0</math> oder wenn <math>\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}=0</math> gilt. <math></math>

Da laut Voraussetzung <math>\phi_i</math> Lösungen der Wellengleichungen sind muss demnach  <math>\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}=0</math> gelten  und somit auch

<math>\displaystyle\sum_{i=0}^n a_i\big(\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}\big)=0</math>

Das war es schon oder übersehe ich noch etwas?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Perlsago
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.01.2014
Mitteilungen: 568
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2015-11-04


2015-11-04 13:52 - bond in Beitrag No. 8 schreibt:
<math>\displaystyle\sum_{i=0}^n a_i\big(\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi_i(x,t)}{\partial t^2}\big)=0</math>

Das war es schon oder übersehe ich noch etwas?

Du hast dir bislang nur klargemacht, was für den Fall endlich vieler <math>\phi_i</math> gilt. Was gilt im Fall unendlich vieler <math>\phi_i</math> (siehe Aufgabenstellung)? In Beitrag No.2 hat dir rlk schon einen wichtigen Hinweis gegeben...



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-04


Hallo, mir wurde der Hinweis:
"Bei der unendlichen Summe ist die zweifache stetige Differenzierbarkeit wichtig." gegeben. Ich kann mir das nur damit erklären das wenn die Funktion nicht stetig diff'bar wäre sie auch nicht die Wellengleichung erfüllen würde. Mehr sehe ich in dem Satz nicht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Perlsago
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.01.2014
Mitteilungen: 568
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2015-11-04


2015-11-04 17:54 - bond in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo, mir wurde der Hinweis:
"Bei der unendlichen Summe ist die zweifache stetige Differenzierbarkeit wichtig." gegeben. Ich kann mir das nur damit erklären das wenn die Funktion nicht stetig diff'bar wäre sie auch nicht die Wellengleichung erfüllen würde. Mehr sehe ich in dem Satz nicht.

Sicher, dass nicht auch zweifach differenzierbare Funktionen die Wellengleichung lösen können?

Denk dran, was mathematisch eigentlich passiert, wenn du "bis ins Unendliche summierst".



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.11.2015
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-04


Laut AUfgabenstellung ist die Funktion einmal stetig diff'bar. Um die Wellengleichung zu erfüllen muss sie allerdings 2mal stetetig diff'bar sein da man die zweiten partiellen Ableitungen benötigt.

Wenn allerdings <math>\phi(x,t)</math> eine Lösung der Wellengleichung ist, dann muss <math>\phi(x,t)</math> auch 2mal stetig diff'bar sein.

Sehe ich das richtig? <math></math>



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Perlsago
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.01.2014
Mitteilungen: 568
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2015-11-05


2015-11-04 18:41 - bond in Beitrag No. 12 schreibt:
Laut AUfgabenstellung ist die Funktion einmal stetig diff'bar. Um die Wellengleichung zu erfüllen muss sie allerdings 2mal stetetig diff'bar sein da man die zweiten partiellen Ableitungen benötigt.

Nein, nach Aufgabenstellung ist die Funktion (bzw. Summe) sogar unendlich oft stetig diff'bar. Für die zweiten partiellen Ableitungen ist i.A. eine zweimalige stetige Differenzierbarkeit gar nicht notwendig.

Mach dir bitte den Unterschied zwischen "differenzierbar" und "stetig differenzierbar" klar. Ansonsten bitte nochmal den Beitrag No.11 durchdenken.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
bond hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]