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Topologie » Diff.topologie/-geometrie » lokaler/globaler Diffeomorphismus
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Universität/Hochschule lokaler/globaler Diffeomorphismus
capal
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 86
  Themenstart: 2015-11-23

Hallo, Wenn ich eine Abbildung f habe zwischen 2 n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und das Differential in einem Punkt invertierbar ist (Rang n hat), dann gibt es eine Umgebung auf die eingeschränkt f ein Diffeomorphismus ist (Satz über Umkehrabbildung), richtig? Ist jetzt das Differential in jedem Punkt invertierbar, erfüllt unsere Abbildung genau die Definition eines lokalen Diffeomorphismus. Meine Frage ist jetzt: kann man ohne die Abbildung näherer zu spezifizieren sagen, ob es sich um einen globalen Diffeomorphismus handelt? (angenommen es wird nur verlangt, dass die Mannigfaltigkeiten und Abbildung glatt sind) Ein paar Kommilitonen und ich haben auf jeden Fall keinen Weg gefunden, zu zeigen, dass die Abbildung ein globaler Diffeomorphismus ist. Mal sehen was ihr denkt. Schönen Tag wünsche ich noch, Capal


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-11-23

Für jede Mannigfaltigkeit $M$ ist die evidente Abbildung $M \sqcup M \to M$ ein lokaler Diffeomorphismus.


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egndgf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-11-23

Hallo, wenn deine Abbildung stetig differenzierbar ist (das ist Voraussetzung des Satzes von der lokalen Umkehrbarkeit), stimmt die erste Aussage (man sollte aber besser schreiben, dass f eingeschränkt auf diese offene Umgebung ein Diffeomorphismus auf das Bild dieser eingeschränkten Funktion ist). Damit ein lokaler Diffeomorphismus ein globaler ist, muss er bijektiv sein. Dafür gibt es keine lokale Charakterisierung. Hier sind zwei instruktive Beispiele: $\exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}^\ast$ ist ein lokaler Diffeomorphismus (wir fassen hier $\mathbb{C}$ als 2-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit auf), aber kein globaler. Und $(0,1)\cup(1,2)\rightarrow(0,1),x\mapsto x,x\in (0,1),x\mapsto x-1,x\in(1,2)$ ist ebenfalls ein lokaler Diffeomorphismus. MfG egndgf [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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capal
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-23

@egndgf Du hast Recht meine Ausdrucksweise war nicht sonderlich präzise, sorry :P. Ok du bestätigst also meinen Verdacht, dass ich ohne näheres über die Abbildung zu wissen, nicht von globalem Diffeomorphismus sprechen kann. Das beantwortet auch schon meine Frage. :D Vielen Dank!


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capal hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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