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Universität/Hochschule J Ableitung von Paralleltransport
eva1
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  Themenstart: 2016-01-30

Hallo, ich muss folgendes beweisen, komme aber nicht weiter. Sei $\xi$ eine Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit M mit Zusammenhang $\nabla$. Für einen Weg $\gamma:[0,1]\to M$ und einem Schnitt $s\in\Gamma(\xi)$ soll bewiesen werden, dass $(\nabla_{\dot\gamma}s)\vert_{\gamma(0)} = \frac{d}{dt}\vert_{t=0} (P_t (s(\gamma(t))),$ wobei $P_t: E_\gamma(t) \to E(\gamma)(0)$ der Paralleltransport entlang $\gamma$ ist. Könnt ihr mir einen Tip geben. Viele Grüße Eva


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Fabi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-01-30

Hi, Waehle eine Basis von E_(\g(0)) und setze diese parallel entlang \g fort. Druecke dann s(\g(t)) in dieser Basis aus. Danach kann man beide Seiten der Gleichung ausrechnen. Gruesse, Fabi


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eva1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-01-31

Hallo Fabi, danke fuer die Hilfe. Damit kann ich $s(\gamma) (t) =\sum_i \phi^i(\gamma(t)) s_i(\gamma(t))$ schreiben. Aber was ist denn jetzt $P_t(s(\gamma))(t)$? Fuer die linke Seite habe ich $(\nabla_{\dot\gamma}s)\vert_{\gamma(0)} =\sum_i \dot\gamma(\phi^i) s_i\vert_{\gamma(0)} +\sum_i \phi^i(\gamma(0)) \nabla_{\dot{\gamma}}s_i$. Stimmt das soweit?


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Fabi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2016-01-31

Hi, Der Paralleltransport ist linear und per Definition von parallel gilt ja P_t(s_i(\g(t)) = s_0(\g(t)). Die linke Seite ist richtig, kann aber noch deutlich vereinfacht werden - die s_i sind ja parallel entlang \g. Gruesse, Fabi


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eva1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-01

Hi Fabi, danke. Dann denke ich dass auf der LS steht: $(\nabla_{\dot\gamma} s)\vert_{\gamm(0)} = \sum_i \dot\gamma(\phi^i) s_i\vert_{\gamma(0)}$ Die RS habe ich dann: $\sum_i \frac{d}{dt}\vert_{t=0} \phi^i(\gamma(t)) s_i(\gamma(t)) =\sum_i \dot \phi^i (\gamma(0)) \dot\gamma(0) s_i(\gamma(0))+ \sum_i \phi^i(\gamma(t))\frac{d}{dt} s_i(\gamma(t)) $ Jedoch weiss ich nicht, wie ich das $s_i$ ableiten kann.


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