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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
Thema eröffnet 2016-02-17 22:35 von Slash
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Kein bestimmter Bereich Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1080, eingetragen 2018-04-07


2018-04-04 07:12 - Slash in Beitrag No. 1078 schreibt:
Ich bastele gerade an einem neuen 4-reg. starren Extremgraphen. Dieser hätte mit zwei Doppelklammern 229 Kanten. Der Rekord liegt aber bei 200. Es geht darum, die Abstände zweier Knoten (rote Kreise) minimal zu bekommen, wobei der Graph starr sein muss. Vielleicht besitzt dieser Graph trotz mehr Kanten einen minimaleren Abstand.



Stefan, hast du Lust diesen Graphen zu testen? :-)

Ja klar! Die Abstände zweier Knoten im roten Kreis habe ich so aufgefasst, dass im nachfolgenden Graph der blaue Winkel im Punkt 1 immer weiter verringert wird, bis die Punkte P3 und P6 fast zusammenfallen. Auf der anderen Seite spiegelbildlich dazu der spitze Winkel ausgehend von P13 zu P15 und P17. Wenn ich nun den blauen Winkel von 10° auf 0° verringere, verändert sich der Abstand P11-P22 von anfangs 3,2551 bis auf 3 (lässt sich dann auch geometrisch begründen, weil alle Winkel 60° sind oder Vielfache davon). Für den Kite im oberen Teil des Graphen wird aber ein Abstand 2,97758 benötigt, der Graph geht nicht zu zeichnen.

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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1081, eingetragen 2018-04-07


Schön hergeleitet, Stefan
Ist er als  3-4-6er  Zeichenbar ? Also unter Ausnutzung der Beweglichkeit  wenn dein Winkel 0 beträgt?

Durch bloßes betrachten schaffe ich es nicht zu einer Entscheidung zu gelangen, grrrr
Haribo



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1082, eingetragen 2018-04-07


Ja, das geht. Bei 0° beweglich habe ich gar nicht gesehen.

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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1083, eingetragen 2018-04-07


ok, dann kann man p(20)-p(15) bis 1,73   also wurzel(3) zusammendrücken
bzw auf 3,46 also 2 x wurzel(3) auseinanderziehen
haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1084, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


Danke Stefan.

@ Team: Ich bereite gerade einen neuen Artikel* vor: "Minimal Distances Between Two Vertices in Rigid 4-regular Matchstick Graphs". Darin ist dieser Graph die Hauptattraktion. Zuvor gehe ich kurz darauf ein, dass unendlich kleine Abstände möglich sind, wenn der Graph minimal, aber flexibel ist (60er) oder starr, aber unendlich viele Kanten besitzt. Ich dachte, es wäre ganz schön noch ein zwei weitere Beispiele, wenn auch mit mehr als 200 Kanten, zeigen zu können. Wenn euch also was einfällt - immer her damit.


*wie zuvor mit uns dreien als Autoren 😄


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1085, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


Hier ein paar Kandidaten zum kombinieren oder verändern. Die müssen nicht geprüft werden.




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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1086, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


Hier einen zum testen. Das linke Stück muss eingepasst werden. Die Knoten rechts in der Mitte dürfen dabei nicht zusammenfallen. Müsste aber klappen.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1087, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


Und noch einen zum testen.

Der blau-grüne Teil ist starr. Die rote Kante müsste 2 Einheitslängen haben. Die grünen Dreiecke könnte man noch entfernen, wobei die Starrheit wohl verlorengeht. Hier das Detail wo es eng wird.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1088, eingetragen 2018-04-07


Der Abstand in der Mitte von #1086 ist mit 0,0134 tatsächlich sehr gering, nur leider in der falschen Richtung wegen Überlappung. Das ist nur bei starker Vergrößerung zu sehen. Ich habe zusätzlich Abstand P13-P34 zum Messen eingegeben, er müsste größer als Wurzel aus 3 sein, 1,72199 reicht dafür nicht.

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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1089, eingetragen 2018-04-07


Der #1087 geht, anstelle von P26-P59 kann man auch den Abstand P5-P38 auf Länge 2 einstellen, bei grünem Winkel 3,6025. Der grüne Winkel ist der spitze Winkel in P20.

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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1090, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


Sehr schön. Das wäre dann ein Abstand P19,P21 von 0,0574. Zwar kein neuer Rekord, aber immerhin. Die Animation mit dem blauen Winkel sie gut aus.


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1091, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


@ Stefan

Kannst du in den #1088 mal einen Kite einpassen? Der wäre breiter. Wenn wir einen geringeren abstand brauchen, dann den vorigen einfach um zwei Dreiecke erweitern, also eine längere "Schere". Man könnte auch mal 3 Einheiten Abstand probieren.


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1092, eingetragen 2018-04-07


Nicht schlecht. Absolut einordnen kann ich das im Moment nicht, doch |P14-P35|=0,0070 ist deutlich weniger und |P13-P34|=1,7373 bleibt größer als Wurzel 3, keine Überlappung.

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Nachfolgend #1087 modifiziert (72 4-er Knoten und 2 2-er Knoten), mit |P4-P32|=0,0055, doch leider mit Überlappung bei P31.

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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1093, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-08


P15,P36 = P19,P39 = 0,00352349284439164344. Das ist wirklich Rekord beim #1092/1. Der alte hat nur 0,0215 Abstand, aber eben auch nur 200 Kanten. Hier mal der neue als 4-regulärer. Vielleicht kann man die Kantenanzahl noch reduzieren. Ich habe 242 kanten gezählt.


Trotz Überlappung war die Modifizierung eine gute Idee.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1094, eingetragen 2018-04-08




wie sieht dein 200er rekord der minimalen distanzen aus?
der herzförmige 168er ist doch absolut beliebig klein in der distanz
haribo



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1095, eingetragen 2018-04-08


Der Graph soll starr sein,

2018-04-04 07:12 - Slash in Beitrag No. 1078 schreibt:
Es geht darum, die Abstände zweier Knoten (rote Kreise) minimal zu bekommen, wobei der Graph starr sein muss.

und der 200er Rekord ist #967.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1096, eingetragen 2018-04-08


2018-04-08 07:44 - StefanVogel in Beitrag No. 1095 schreibt:
Der Graph soll starr sein,


ok starr, verstanden

wenn zwei kriterien gleichzeitig und gleichwertig minimiert werden sollen bietet es sich an sie zu multiplizieren
das gibt eindeutige ergebnisse,

242 x 0,0035 = 0,847
200 x 0,0215 = 4,3

sogesehen ist der 242er rund 5x kleiner/besser

über die gleichwertigkeit beider kriterien kann man ja nochmal nachdenken...
man könnte auch den winkel einsetzen anstelle des abstandes?
haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1097, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-08


Ja, Multiplizieren und kleinster Wert hatte ich auch schon als Maß im Sinn. Dem wird leider durch jeden solchen unendlich vergrößerbaren Graphen ein Strich durch die Rechnung gemacht. Mit folgender Methode können, obwohl die Kantenzahl gegen unendlich und der Abstand gegen Null strebt, 3-fach rotations symmetrische Graphen konstruiert werden, deren Produkt aus beiden Werten ebenfalls gegen Null strebt.

Die Kantenzahl muss also irgendwie vorrangig berücksichtigt werden.

Der Rekordgraph für flexible Graphen ist der gute alte 60er, dessen Teilgraphen auch in #1078(#1080) benutzt wurden.

Gruß, Slash


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1098, eingetragen 2018-04-08


Könnte bei dem Graph Figure 2 für das Produkt auch ein Grenzwert wie 4 herauskommen oder hast du den Grenzwert 0 nach einer bestimmten Methode ausgerechnet?

|P3-P6|=0.0388, 112 Kanten, 112*0.0388=4.3456
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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1099, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-08


Ich hatte da gar nichts gerechnet. Das war nur so eine Überlegung (offensichtlich falsch 😄 ). Wenn da ein Grenzwert >0 oder 1 existiert wäre das natürlich interessant. Die Kantenzahl müsste man noch verdoppeln und 42 für einen Doppelkite addieren. Das wäre dann der kleinstmögliche 4-reg. Graph aus diesen "Scheren".


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1100, eingetragen 2018-04-08


Meine Überlegung dabei war, |P4-P11|=|P56-P58|/Scherenlänge mit |P56-P58|=1. Das ergibt |P4-P11| mal Scherenlänge=1. Wenn man ausgehend von der geschlossenen Schere Dreieck (P6,P11,P10) um P6 dreht, bewegt sich P10 um die gleiche Distanz weiter wie P11 von P4 aus. P3-P6 ist die Hälfte der Distanz, die sich P10 weiterbewegt, also |P3-P6| mal Scherenlänge ist 1/2. Erhöhung der Scherenlänge um 1 benötigt 8 Kanten, also |P3-P6| mal Kantenzahl ist ungefähr 4 (zuerst hatte ich versehentlich durch 8 geteilt). Die zusätzlichen Kanten wegen mehrfach rotationssymmetrisch oder zusätzlicher Doppelkites habe ich dabei nicht berücksichtigt.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1101, eingetragen 2018-04-08


stefan, ich denke deine grenzwert-rechnung ist richtig, da man aber 6 solcher gebilde benötigt wäre der grenzwert dann sogar 6 x 4=24

mit etwas nachdenken kann man den grenzwert sicher in richtung 4 x 4=16 drücken, man braucht ja nicht 3 mal gleichlange elemente zum zusammensetzen

hier eine lösungs in dieser richtung mit hölzer x abstand: 398 x 0,05=19,9

ungenau gezeichnet, die gelben sind nicht exakt 1! und ausserdem sind die kurzen noch immer zu lang... dann käme ca.18 heraus... es geht ja grade nur ums prinzip



in jedem fall ist diese sorte lösung immer mehrfach schlechter als der 242er mit seinen h x a wert < 1 [h x a bedeutet: hölzer x abstand]
haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1102, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-08


Also ich komme doch wieder auf den Grenzwert 0. Ausgehend vom kleinsten Graph 2a mit 29 Kanten. Wir benötigen für einen 4-regulären davon 4 Stück und einen Doppelkite, also insgesamt 158 Kanten. Ich habe jetzt die ersten 5 Graphen gebaut und vermessen. Das sind immer 32 Kanten mehr und grob ergeben sich die Werte für x und y um den Abstand zu berechnen. Pi mal Daumen haut das hin.
PARI/GP
Abstand=0.26;
Kanten=158;
y=1.5;
x=0.16;
 
for(n=1, 100,
  Kanten=Kanten+32;
  Abstand=Abstand/y;
  y=y-x;
  x=x/2;
  print(Kanten"  "Abstand"  "Abstand*Kanten);
);



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1103, eingetragen 2018-04-09


Graph #1098 mit |P3,P6|=0,0388667 entspricht dem Schleifendurchlauf n=10 mit Abstand=0,0301540. Beides sind Näherungswerte. Was ist der exakte Abstand und welche Näherung liegt weiter dran, das ist jetzt die entscheidende Frage...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1104, eingetragen 2018-04-09




auch wenn slash das immer nicht nachvolziehen kann, mit statischen überlegungen kann man den abstandsverlauf beim öffnen der scherenkonstruktion für kleinste winkel (also lange scheren) exakt darlegen

bei unendlicher länge der schere liegt sowohl p3 auf p6 als auch p11 auf p4
betrachten wir den blauen teil als festliegend

öffnet man jetzt die schere indem man ein moment auf den gelben stab(p6-p11) gibt, ihn also um sein rechtes ende entgegen dem urzeigersinn dreht, überträgt er über stab (p11-p8) eine druckkraft auf das rote doppelt grosse dreieck, welches sich dann um p1 dreht

stab p11-p8 ist dabei, anfangs, beidseitig mit exakt 60 grad winkeln angeschlossen, überträgt also die gleiche kraft welche er vom gelben stab bekommt in das rote dreieck, gleiche kraft bedeutet gleiche bewegungsgeschwindigkeit, p8 bewegt sich also anfangs gleichschnell wie p11

da die kante des dreiecks (also p8-p1) doppelt so lang ist bewegt sich ihr mittelpunkt (p3) mit halber geschwindigkeit, also mit doppelter kraft

folglich beträgt bei kleinsten öffnungswinkeln der abstand p3-p6 genau die hälfte wie p4-p11

bei etwas grösseren öffnungswinkeln wächst der obere rote anschlusswinkel schneller, also wird die abstandsbewegung p3-p6 dann langsamer als die hälfte von p4-p11, aber bei kleinsten winkeln ist sie genau halb

diese schere verhält sich also bei kleinen winkeln in den kleinen abständen genau wie die folgende, simpler aufgebaute, welche sich einfach um p7 öffnet, auch hier ist leicht ersichtlich dass der abstand p3-p6 genau die hälfte von p4-p11 beträgt

der abstand p3-p6 beträgt also bei langen scheren 1/länge oder 1/n (von mir aus auch 1/(n+1) dass spielt aber doch für grosse n keine rolle)

der grenzwert h x a ist doch damit eindeutig ermittelbar: 8n x 1/n = 8


dieser einzelgrenzwert mal 2 plus 42 ergibt als gesamtgrenzwert immer noch 16

oder?
haribo







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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1105, eingetragen 2018-04-09


sach keiner dass es nicht immer besser geht: diese eistüte hat nur zwei scheren anstelle vier und nen ca.4x kleineren abstand

n=10 mit  2 x (12+42+1+80)=270 hölzern einen abstand von a=0,016

etwas unexakt gezeichnet, hat sie h x a :  270 x 0,016 = 4,3

das könnte also dann den 4er grenzwert ergeben...


nachtrag: ich versuche es mal mit n=200 zu zeichnen, denn ich vermute dass es tatsächlich sogar nen abstand 8/n² ergibt,
dann wäre h x a  ca. 16n x 8/n²=128/n   würde also tatsächlich als grenzwert auf unendlich klein hinauslaufen



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die zeichnung ist als ganzes zu kompliziert um sie darzustellen
hier die beiden ränder

ich erhalte bei n=200 mit  2 x (12+42+1+1600)=3310 hölzern einen abstand von a=0,00018

das ergibt 3310 x 0,00018 = 0,596  also in jeden fall einen rekord

mit der abstandsschätzung 8/n²=0,00020 als abstand lag ich sehr richtig
damit erscheint es mir bestätigt dass der grenzwert h x a gegen null geht
haribo



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1107, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-09


Schön haribo. Dann kommt deine "Eistüte" in den Artikel mit den entsprechenden Erklärungen. Als Definition für minimale Extremgraphen müssen wir dann die Kantenzahl (im Artikel allerdings dann wieder Knotenzahl) in den Fokus rücken.

Oder wir finden eine andere "Formel" als nur Kanten und Abstand zu multiplizieren, die diese unendlichen Graphen aussiebt. Vielleicht irgendwas mit Logarithmus, Wurzeln, ...


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2018-04-09 16:28 - Slash in Beitrag No. 1107 schreibt:

Oder wir finden eine andere "Formel" als nur Kanten und Abstand zu multiplizieren, die diese unendlichen Graphen aussiebt. Vielleicht irgendwas mit Logarithmus, Wurzeln, ...

man kann die kanten mit nem exponenten bestrafen ^1,4...^2 ...^egal, es hat aber eine ziemlich/gewisse beliebigkeit solange man keine herleitung dafür hat,

haben wir denn überhaupt ne herleitung warum geringe distanzen für irgend etwas gut sein könnten? ausser dass sie jedwede zeichnung unbeschreiblich schwierig zu erkennen machen

haribo



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du suchst doch beispiele, in #609 hatten wir auch schonmal kleine abstände 0,024 hab ich damals eingetragen, daneben ist aber noch ein halber abstand 0,0124 bei 220 hölzern ---> h x a =2,7

LinkStreichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5

haribo



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2018-04-09 16:39 - haribo in Beitrag No. 1108 schreibt:
haben wir denn überhaupt ne herleitung warum geringe distanzen für irgend etwas gut sein könnten? ausser dass sie jedwede zeichnung unbeschreiblich schwierig zu erkennen machen

Einfach nur eine interessante Aufgabenstellung wie auch die (4;n)-reuglären. Wie extrem können sich Knoten in starren minimalen 4-regulären SHG annähern? Die bisherigen Beispiele sehen wirklich interessant aus, und wohl niemand würde intuitiv darauf kommen, wie z.B unser (4;11). Das auch beliebig geringe Abstände in solchen starren Graphen existieren, allerdings auf Kosten einer beliebig hohen Knotenanzahl muss natürlich der Vollständigkeithalber erwähnt werden.


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2018-04-09 17:37 - haribo in Beitrag No. 1109 schreibt:
du suchst doch beispiele, in #609 hatten wir auch schonmal kleine abstände 0,024 hab ich damals eingetragen, daneben ist aber noch ein halber abstand 0,0124 bei 220 hölzern ---> h x a =2,7

LinkStreichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5

Wurde die 2. Version schon programmiert? Sind diese Graphen starr?


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1112, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-09


Ich denke, den #967 könnte man mit größeren stabilisierenden Teilgraphen (außen) auch in der Mitte beliebig nahe annähern.

Aber wie auch immer. Es geht dann eben um minimale Graphen. Kantenzahl vor Abstand.


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haribo
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2018-04-09 18:01 - Slash in Beitrag No. 1110 schreibt:
wie z.B unser (4;11).

apropo 4/11er da gibt es gleich mal nen neuen math-magic relevanten rekord,
ich zähle 775 hölzer
2x        188        376 die roten+gelben
16x      21        336 die pinken
7x          9        63  die weissen+schwarzen

             summe 775


ich hab vom 777er 11 hölzer(blau) entfernt habe und 9 (weiss) dazugefügt
ich hab lediglich an den gelben linien zusammengeklappt, und unten neu arrangiert, die kerne ansich nicht verändert



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2018-04-09 18:02 - Slash in Beitrag No. 1111 schreibt:
2018-04-09 17:37 - haribo in Beitrag No. 1109 schreibt:
du suchst doch beispiele, in #609 hatten wir auch schonmal kleine abstände 0,024 hab ich damals eingetragen, daneben ist aber noch ein halber abstand 0,0124 bei 220 hölzern ---> h x a =2,7

LinkStreichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5

Wurde die 2. Version schon programmiert? Sind diese Graphen starr?

ansich sind es zehn um ein holz erweiterte kites, die dadurch so beweglich wurden dass ich sie in einen 36 grad winkel schieben konnte, aber ob der ring dann starr ist???

sehr gute frage, dass hat uns damals noch gar nicht interessiert
haribo



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haribo
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2018-04-09 18:27 - Slash in Beitrag No. 1112 schreibt:
Ich denke, den #967 könnte man mit größeren stabilisierenden Teilgraphen (außen) auch in der Mitte beliebig nahe annähern.

Aber wie auch immer. Es geht dann eben um minimale Graphen. Kantenzahl vor Abstand.

tya, wenns alleine nur um kantenzahl gehen würde dann gewinnt der harborth... weil dann der abstand ja egal wäre... das macht auch wenig sinn?



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Slash
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Gratulation zum neuen 4/11er! Der kommt aber auch nicht zur Ruhe. 😉

Mit dem Harborth hast du recht. Dann vielleicht Abstände kleiner als 0,1 oder 0,05. Harborth hat 0,15663. Man könnte diese Definition damit begründen, dass es so nicht mehr möglich ist den Graphen aus Streichhölzern, etc zu legen.


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unten kann man die doppelschere wieder stutzen also morgen gibts den 4/11er mit 773 hölzern!



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Slash
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Wenn sich durch deine neue untere Verbindung eine neue Beweglichkeit ergibt, vielleicht passt dann oben ein einziger 2ender rein.


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Slash
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Neuer 4/4 und 4/5? Rot zu lang, blau zu kurz.




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