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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
Thema eröffnet 2016-02-17 22:35 von Slash
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Kein bestimmter Bereich Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.760, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-04


Wir geben den gesamten Thread 1:1 als Buch heraus. Die Leute kaufen doch alles. 😉

Nun wieder ernsthaft: Das (zweite*) Video ist fertig. Am besten in HD und Vollbild betrachten. Es hat etwas hypnotisches diesem Graphen zuzusehen.

Flexibility of a (3,4,24)-regular matchstick graph

Es ist wohl das erste Video dieser Art auf YouTube. ☹️
Aber wir werden schon dafür sorgen, dass in zwei Jahren jedes Schulkind weiß, was ein Streichholzgraph ist. 😉


*das erste habe ich aus Qualitätsmangel gelöscht


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.761, eingetragen 2017-03-05


Beim #755 lasse ich zunächst die blau gestrichelten Linien weg, und dann auch die beiden inneren Spitzen, weil sie auf die Beweglichkeit keinen Einfluß haben. Im Verlauf der Eingabe benötige ich dann vier bewegliche Winkel in P1, P9, P27 und P45 und am Ende entstehen drei zu justierende Restkanten P64-P65, P4-P67 und P10-P69. Zum Justieren werden drei der Winkel benötigt, insgesamt bleibt also ein beweglicher Winkel übrig, der Graph ist einfach beweglich.

Dieses Ergebnis stimmt bei k=132 Kanten und n=68 Knoten auch mit dem Ergebnis "grüner Bereich" der Berechnung k<2n-3 überein, der Graph muss mindestens einfach beweglich sein.

Ärgerlich nur, dass in jedem Bewegungszustand die beiden inneren Spitzen zusammenfallen, wenn man sie noch ergänzt (diese Ergänzung ist in der Eingabe schon als Kommentar enthalten).

Andererseits, bei geeignet gewählten Winkeln wie 15.522...° ist das ein acos(1/4)-Graph und das extra GAP-Programm gibt als Ergebnis zweifache (und bei alle Winkel gleich 30° sogar vierfache) Beweglichkeit aus. Doch habe ich es bis jetzt noch nicht geschafft herauszufinden, wie eine weitere solche Bewegungsmöglichkeit aussehen könnte und ob dann die inneren Spitzen immer noch zusammenfallen. Also da fehlt noch eine Antwort.

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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.762, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-05


Ich werfe mal zwei Testobjekte ins Rennen. Links ein 4/5, rechts ein 4/4 mit zu langen bzw. kurzen Kanten. Bei dem 4/4 müsste man einfach schauen, was in der Mitte noch alles möglich ist. Hatten wir schon mal eine Hülle aus 3-2-1-Segmenten?


Beim linken Graphen legt man besser die oberste und unterste rote Kite-Kante an die Kite-Spitze an.


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.763, eingetragen 2017-03-05


Beim linken Graph kann man den blauen Winkel in Punkt P22 nur im Bereich 0° bis 9° variieren, das reciht aber nicht aus, überhaupt eine der roten Kanten zu 1 zu machen. Beim rechten Graph ebenso, für die Eingabe benötige ich 3 bewegliche Winkel, doch es gelingt nicht, aus den 6 roten Restkanten drei auszuwählen, um sie auf Länge 1 zu justieren.

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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.764, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-06


Neues Video

Flexibility of a (2,4)-regular matchstick graph


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.765, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-06


Lasst uns mal (die einfachsten) Beispiele für 4-reguläre SHG mit mehr als 170 Kanten zusammentragen. Die konnte Herr Harborth ja auch schon konstruieren.

So liefert z.B. der Harborth-Graph mit seinen Teilgraphen-Erweiterungen alle Knotenzahlen für 104, +24, also 128, 152, 176, 200, usw.

104, +24 (Harborth-Graph)
120, +24 (Kreisgraph)
120, +40 (Kreisgraph)
168, +40 (Kreisgraph)
148, +14 (der ist besonders effektiv)
126, +42 (Doppel-Kites)

Die roten Kanten sind die Teilgraphen-Erweiterungen.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.766, eingetragen 2017-03-06


seit wann zählen wir knoten und nicht mehr hölzer?

bei deiner harborth erweiterung "52, +12 (Harborth-Graph)"mischt du möglicherweise beides durcheinander, denn die erweiterung hat 2 x 12 hölzer, aber 16 neue knoten

ich fänds besser wir liessen die anzahl der hölzer in der schachtel (analog zur kirche im dorf)

haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.767, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-06


Gut, bleiben wir bei Kanten. Ich schreibe den Beitrag um. Es ist ja nur immer das Verhältniss 1:2, aber bei kleineren Zahlen behält man besser den Überblick. Außerhalb des Forums sind dann aber wieder Knoten angesagt, so mag es die Fachwelt.

...die Harborth-Erweiterung hat aber tatsächlich +12 Knoten, nicht 16. Denn 104+24=128 und 128/2=64 und 64-52=12. 😄 Gut, weiter im Text.


104, 108, 114, 120, 126 gibt es.

106, 110, 112, 116, 118, 122, 124 gibt es noch nicht.

130, 134, 146, 148, 154, 170 fehlten Herrn Harborth, die haben wir jetzt aber auch.

132, 136, 140 gibt es hier.

Graphen sind verlinkt. Symmetrische Graphen bevorzugt. Die Graphen aus #765 mit Erweiterung liefern folgende Kantenzahlen.

104, 128, 152, 176, 200, 224, 248, 272, 296, ...
120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, ...
120, 160, 200, 240, 280, ...
126, 168, 210, 252, 294, ...
148, 162, 176, 190, 204, 218, 232, 246, 260, 274, 288, ...
168, 208, 248, 288, ...

Der verbreiterte 114er ist auch sehr effektiv und liefert 114, +12, also
114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, 270, ...


Es fehlen 142, 156, 158, 164, 166 dann haben wir erstmal alle bis 170 beisammen.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.768, eingetragen 2017-03-06


ok geschenkt, ein knoten den man zerschneidet sind danach zwei knoten, also muss einer davon ein neuer sein (welcher eigendlich?)

haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.769, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-07


Ich hoffe, ich habe mich nicht verzählt.



Hier ein 150er mit +16 Erweiterung. Also auch
150, 166, 182, 198, 214, 230, 246, 262, 278, 294, ...



Hier ein 152er mit +16 Erweiterung. Also auch
152, 168, 184, 200, 216, 232, 248, 264, 280, 296, ...



Und der Vollständigkeit halber auch die nochmal zusammen.



Es fehlen 142, 156, 158 dann haben wir erstmal alle bis 170 beisammen.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.770, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-07


Hier sind zwei 156er. Fehlen noch 142 und 158 bis 170.


Wir könnten zwar einfach Herrn Harborth nach seiner Methode fragen, aber das werden wir ja wohl auch hinbekommen die 4/4er zusammenzutragen. 😉


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.771, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-07


Hier noch vier Kite-Konstruktionen mit 156, 162, 164 und 166 Kanten.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.772, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-07


Kleiner Einschub für's SHG-Programm. Rechte Seite blau zu kurz, rot zu lang.

Wie flexibel ist dieser 4/5. Man muss wohl mehrere (7) Varianten* mit versetzten Kanten testen. Mit etwas Glück könnte ein 130er bei rauskommen.

*durchgestrichen wird durch gepunktet ersetzt


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.773, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-08


Symmetrische 4/4 mit 146 und 148 mit +14 Erweiterung.
148, 162, 176, 190, 204, 218, 232, 246, ... (haben wir aber schon)




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.774, eingetragen 2017-03-08



der ist starr,
die innere länge ist nur 0,056 länger als bei dem 156er...
also lassen sie sich nicht kombinieren



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.775, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-08


Ob das ein 4/4 werden könnte?



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.776, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-09


Bad news: Ich finde keinen 142er und 158er. ☹️

Good news: Ich habe mir gerade die Domain matchstickgraphs.org gekauft. 😄

Das wird die offizielle internationale Webiste für alle Themen rund um Streichholzgraphen. Ganz im Sinne der Seite für magische Quadrate - aber etwas schöner und moderner.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.777, eingetragen 2017-03-09


142 und 158 zeichnen sich dadurch aus das sie durch 2 geteilt ne primzahl sind, also brächte man vermutlich ne 180° winkelsymetrie, d.h. nix dreifach oder vierfach symetrisches

sowas ähnliches:



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.778, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-09


Das müsste ein 158er sein, aber bitte nachzählen.


Und hier noch andere, aber auch nachzählen.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.779, eingetragen 2017-03-09


jo , ganz schön schwer das abzählen ohne zeichnen
70+28+24+23+13=158, scheint zu stimmen

gratulation



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.780, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


Hier noch eine simple Kite-Konstruktion mit 160 und 172 mit +12-Erweiterung.

160, 172, 184, 196, 208, 220, 232, 244, 256, ...


Allein vier Graphentypen decken jetzt schon eine Menge ab.
150, 166, 182, 198, 214, 230, 246, 262, 278, ... (+16)
152, 168, 184, 200, 216, 232, 248, 264, 280, ... (+16)
160, 172, 184, 196, 208, 220, 232, 244, 256, ... (+12)
162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, ... (+12)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.781, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


Dem Big-Kite sei Dank!




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.782, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


Hier sind 180, 188, 194, 202, 206 und 212.




Fold-Kite und Big-Kite Kombinationen.


Jetzt können wir auch schon Graphen kombinieren.

Der 212er lässt sich auch aus drei Doppel-Kites (126) und einem Doppel-Fold-Kite (86) konstruieren.

Bis 220 fehlt nur 178.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.783, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-11


Schon mit zwei Harborths gibt es diese Möglichkeiten. Jetzt kann man auch noch Doppel-Kites dazwischen packen, etc.



Hier noch ein 170er aus Kites.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.784, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-11


Zusammenfassung

Wenn wir allen Graphen bis 250 haben, dann können wir auf jeden Fall, da ab 126 lückenlos, alle weiteren Graphen als Kombinationen aus diesen 63 Graphen konstruieren.

236, 238, 242, 250 lassen sich mit dem 104er und 132, 134, 138, 146 konstruieren. 228 aus dem 108er und 120.

Noch 178 und 226 dann ist der Beweis fertig! 😄

Das nennt man wohl einen konstruktiven Existenzbeweis.


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.785, eingetragen 2017-03-11


Bei der Bestimmung der Beweglichkeit mit dem extra GAP-Programm kommt neben dem "Übersehen von Beweglichkeit" (ursprünglich parallele Kanten sind nach dem Runden der Punktkoordinaten nicht mehr parallel) noch der umgekehrte Effekt hinzu: Es wird als Ergebnis eine Beweglichkeit ausgegeben obwohl gar keine vorhanden ist. Dazu folgender einfache Graph

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Von P1 bis P9 ist dieser Graph stabil, dann werden P8 und P9 im Abstand 2 durch zwei Kanten P8-P10 und P10-P9 der Länge 1 verbunden.

Das extra GAP-Programm gibt (in Auswertung der Freiheitsgrade, Rang der Matrix, statischen Bestimmtheit usw.) als Ergebnis "einfach beweglich" aus. Das ist in einem gewissen Sinn einleuchtend, einer senkrecht auf P10 einwirkenden Kraft können die Kanten P8-P10 und P10-P9 nichts entgegensetzen. Als Fachwerk betrachtet ist das kein stabiler Aufbau. Aus Sicht der Streichholzgraphen jedoch ist dieser Graph unbeweglich, weil bei geringfügigem Veränden der Winkel die Kanten P8-P10 und P10-P9 nicht mehr passen würden. Die Suche nach einer echten Beweglichkeit wäre vergeblich.

Ein größeres Beispiel ist Graph #570-6 (der 4/4 mit 154 am Ende des Beitrages). Da hatte das extra GAP-Programm auch als Ergebnis einfach beweglich heraus. Doch anstelle einer richtigen Beweglichkeit habe ich nur so eine "unkompensierte Kraftwirkung" gefunden. Nochmal der #570-6 im Inneren etwas vereinfacht

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Wenn man den blauen Winkel etwas vergrößert, vergrößert sich der Abstand P73-P74

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und wenn man den blauen Winkel etwas verringert, dann vergrößert sich Abstand P73-P74 trotzdem

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siehe auch die SVG-Animation im neuen Streichholzgraph-785.htm. Der Abstand P73-P74 nimmt bei Länge 1 ein Minimum an. Ein Versuch, den blauen Winkel zu verändern, kann von Kante P73-P74 nicht verhindert werden, weil die Kraftwirkung senkrecht zur Kante P73-P74 erfolgt und deshalb nicht kompensiert werden kann. Das möchte ich im Moment als Erklärung dafür verwenden, dass das extra GAP-Programm "beweglich" ausgibt, sich aber keine richtige Beweglichkeit finden lässt. Gleiches gilt für den Original #570-6, der Abstand P19-P40 wird größer, egal in welche Richtung man den blauen Winkel verändert.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.786, eingetragen 2017-03-11


Der Graph #772 ist nach Eingabe von Punkt P1 bis P57 bereits starr. Die drei zwischenzeitlich verwendeten beweglichen Winkel blau, grün, gelb werden benötigt, um P12-P22, P50-P56 und P47-P57 auf Länge 1 zu bringen. Das bestätigt auch das extra GAP-Programm beim Rechnen mit exakten Punktkoordinaten (acos(1/4)-Graph).

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Dann lässt sich das Innere noch mit vielen Kanten der Länge 1 füllen (schwarz und grün), von denen man auch welche weglassen kann, um einen bestimmten Knotengrad zu erreichen. Nur in der Mitte die drei gelben Kanten P61-P62, P63-P59, P63-P60 passen nicht. Auf Kante P61-P62 könnte man noch verzichten, doch für P63 ist nur Knotengrad 2 möglich.

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Beim #775 lässt sich geometrisch zeigen, dass die blauen Kanten größer 1 sein müssen. Wenn die roten Kanten passend gemacht werden können, wird das höchstens ein Epsilon-Graph.



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Danke Stefan, das mir der falschen Beweglichkeit des Beispielgraphen mit dem Dreieck in der Mitte ist mir auch aufgefallen, da man sie noch gut erkennen kann. Ist mit der dargestellen Beweglichkeit in den drei Videos alles in Ordnung oder haben sich da auch Fehler eingeschlichen? Beim 11-Kern habe ich nur eine Kantenänderung ausmachen können. Beim (2, 4)-regulären gibt es ab 1:40 eine Bewegung, die leicht komisch aussieht.


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haribo
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wenn wir alle 4er >126 haben dann haben wir auf jeden fall auch alle 4/5er  >231

nach folgendem prinzip (hier beispielhaft dargestellt an zwei 120ern) lassen sie sich immer aus zwei vierern koppeln

231=104+126+1  usw ergibt immer eine ungerade zahl

für die geraden zahlen arbeiten wir mit einem zweiten verbindung, also jeweils 4 5er knoten



-alle  4/6er > 230; die ungeraden sind oben dargestellt, für die geraden benutzen wir die 4/7er und löschen die 7-7 verbindungslinie
-alle ungeraden 4/7er > 229     gibt es 4/7er mit gerader anzahl???
-alle  4/8er >230      

sind so auch herstellbar

ob es überhaupt 4/8er mit ungerader hölzerzahl geben kann weiss ich derzeit auch nicht

ziemlich viele neue also
haribo






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voila der 178er ist gefunden

dieser elastische 4/2 100er deckt mindestens den spannweiten bereich von 8,5 bis 10,4 ab

und ein 4/2 78er hat die, in dem bereich liegende, spannweite 8,8

muss also nur noch zusammengesetzt und exakt gezeichnet werden




der winkel ist noch nicht ultra genau bestimmt, passt aber +/- 0,1°

zwei der 100er würden auch einen prima elastischen 200er liefern

haben wir jetzt tatsächlich alle 4/4er im bereich >126 bis unendlich abgedeckt?
haribo


p.s. nachzählen hat nen fehler aufgedeckt, der 100er hatte eine doppelte linie gehabt und ist nur ein 98er.... so ein mist ich lass es aber mal als fehlversuch hier stehen...





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Slash
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2017-03-11 20:38 - haribo in Beitrag No. 789 schreibt:
haben wir jetzt tatsächlich alle 4/4er im bereich >126 bis unendlich abgedeckt?

Ja, mit 178 und 226 (noch zu finden) sind das alle. 😄 Hier eine Liste.

Kantenzahlen bekannter Beispiele 4-regulärer Streichholzgraphen

< 104 und 106, 110, 112, 116, 118, 122, 124 Kanten gibt es noch nicht.

Einzelgraphen
108, 130, 132, 134, 136, 140, 142, 146, 154, 156, 158, 164, 170, 180, 188, 194, 202, 206, 212, 228, 236, 238, 242, 250

Graphen mit Erweiterungen
104, 128, 152, 176, 200, 224, 248, 272, ...
114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, ...
120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, ...
120, 160, 200, 240, 280, ...
126, 168, 210, 252, ...
148, 162, 176, 190, 204, 218, 232, 246, 260, ...
150, 166, 182, 198, 214, 230, 246, 262, ...
152, 168, 184, 200, 216, 232, 248, 264, ...
172, 184, 196, 208, 220, 232, 244, 256, ...


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haribo
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achtung slash fehler in #789, ich hab keinen 178er bisher,



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2017-03-11 22:41 - haribo in Beitrag No. 791 schreibt:
achtung slash fehler in #789, ich hab keinen 178er bisher,

OK, Beitrag wird geändert. Schade, aber die beiden finden wir auch noch.


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Und da ist er schon.



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Und fertig! 😄




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versuchte den 130er um 16x3=48 zu erweitern...

lande aber bei 174


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.792 begonnen.]



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kratulation, der 29er ist gut jewesen zum ergänzen



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Hier mal unser Arsenal an (2, 4)-regulären Teilgraphen mit nur zwei 2er-Knoten. Der 80er kann dabei um +6 endlos erweitert werden.



Allein schon mit diesen Teilgraphen lassen sich fast alle 4/4 mit mehr als 236 Kanten konstruieren. Man doppelt den 80+6 und setzt dann einen der anderen fünf Teilgraphen dazwischen. Das ergibt 238+12, 240+12, 242+12, 244+12, 246+12. Das sind nur fünf Graphentypen und alle sind starr, da aus drei starren Teilgraphen bestehend.

Jetzt fehlen nur noch 248+12 und alle 4/4 mit mehr als 236 Kanten sind konstruiert.

Der Harborth mit seiner +24 Erweiterung liefert alle 248+24. Und der Harborth kombiniert mit dem 132er liefert alle 236+24.

Also nur sieben Graphentypen für alle > 236. Und es ergeben sich dabei keine langen Ketten von Graphen-Kombinationen.


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haribo
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ganz so einfach gehts noch nicht,
man kann nicht endlos den 80iger erweitern, da reichen dann bald nicht mehr zwei der anderen als spannweite aus



ich hab noch nen 70er zweiender, als reduzierung des 98er gefunden



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haribo
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det hat mir gestern keine ruhe gelassen keinen 178er nicht zu finden...
drum hier noch ne variante



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