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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
Thema eröffnet 2016-02-17 22:35 von
Slash
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Universität/Hochschule Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.960, eingetragen 2017-04-29


dann kann man auch die beiden mittleren dreiecke (oben+unten) ganz rausnehmen?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.961, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-29


2017-04-29 12:12 - haribo in Beitrag No. 960 schreibt:
dann kann man auch die beiden mittleren dreiecke (oben+unten) ganz rausnehmen?

Dann wird der 2/4 aus #934 noch beweglicher, also doppelt beweglich. Aber ich bin mir auch hier nicht ganz sicher.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.962, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-30


Mir ist soeben ein Fehler im ersten Artikel aufgefallen, der schon über ein Jahr besteht, da ich ihn schon so anfangs hier gepostet hatte. Der 4/5 Fig.16 v2 besitzt 123 statt 121 Kanten. Damit gehört er eigentlich nicht mit in den Artikel, da er nichts besonderes ist.

Ich habe ihn rausgenommen und alles im PDF und im MGC angepasst. Die Graphen sind einfach nachgerückt bis Fig.17 v7. Fig.17 v8 gibt es also nicht mehr. War zum Glück in 10 Minuten erledigt. smile


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.963, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-30


Hier noch mal im Vergleich. Die roten Kanten sind senkrecht, die blauen waagerecht.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.964, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-30


Ich habe es geschafft den starren Extrem-Graphen zu retten.

Es ist also möglich, den 2/4 dank seiner Beweglichkleit so zu verformen, dass zwischen die Spitzen der rosa Dreiecke genau ein Doppelkite passt.


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.965, eingetragen 2017-04-30


2017-04-29 20:47 - Slash in Beitrag No. 961 schreibt:
2017-04-29 12:12 - haribo in Beitrag No. 960 schreibt:
dann kann man auch die beiden mittleren dreiecke (oben+unten) ganz rausnehmen?

Dann wird der 2/4 aus #934 noch beweglicher, also doppelt beweglich. Aber ich bin mir auch hier nicht ganz sicher.

So?

fed-Code einblenden

Dazu sagt das extra GAP-Programm 3-fach beweglich, also drei Winkel können beliebig variiert werden. Dabei habe ich noch nicht die Kante P5-P17 auf Länge 1 eingestellt, damit in der Mitte mehr Platz ist und ich habe auch noch nicht versteckte Beweglichkeiten gesucht (die durch Runden der Punktkoordinaten verloren gegangen sein könnten).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.963 begonnen.]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.966, eingetragen 2017-04-30


Den #964 versuche ich auch gleich mit

fed-Code einblenden

Die Eingabe ist nicht so gut zum Nachmachen gelungen. Das extra GAP-Programm sagt "einfach beweglich", doch das kann eine falsche Beweglichkeit sein (nicht statisch bestimmt aber Bewegungsspielraum nur 0), weil eine von P15 auf P21 einwirkende Kraft nicht von den Kanten P35-P21 und P36-P21 aufgenommen werden kann. Versteckte Beweglichkeit wegen gerundeter Punktkoordinaten habe ich nicht gesucht. Also allles nur schnell schnell eingegeben wegen der Neugier, ob sich die Winkel einstellen lassen.

EDIT: Mit Streichholzgraph-964.htm mit Buttons zum Drehen und Vergrößern, Verkleinern kann man sich den geringen Abstand P12-P26 "aus der Nähe" anschauen.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.967, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-30


Hier ist mein Versuch mit Handjustierung der Winkel. Das große gleichseitige Dreieck hat Doppelkite-Kantenlänge. Noch nicht perfekt, aber es geht. Unsere Winkel stimmen fast überein.

fed-Code einblenden



2017-04-28 03:58 - Slash in Beitrag No. 956 schreibt:
Existiert noch ein extremerer starrer Streichholzgraph mit kleineren Winkeln und Abständen als 1,29° und 0.02256318256793?

Das schöne ist, dass dieser Graph mit ca. 0,0215 und ca. 1,23° noch extremer ist als der vermeintliche Rekordgraph von vorher. smile

EDIT: Also wenn der wieder nicht starr ist, fress ich einen Besen.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.968, eingetragen 2017-04-30


2017-04-30 07:50 - StefanVogel in Beitrag No. 965 schreibt:
2017-04-29 20:47 - Slash in Beitrag No. 961 schreibt:
2017-04-29 12:12 - haribo in Beitrag No. 960 schreibt:
dann kann man auch die beiden mittleren dreiecke (oben+unten) ganz rausnehmen?

Dann wird der 2/4 aus #934 noch beweglicher, also doppelt beweglich. Aber ich bin mir auch hier nicht ganz sicher.

So?

#965
na, ich meinte ansich schon p25 - p9 sowie  p18-p1 jeweils zusammenzubringen...
könnte aber auch trivial enden



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.969, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-30


2017-04-30 18:27 - haribo in Beitrag No. 968 schreibt:
2017-04-30 07:50 - StefanVogel in Beitrag No. 965 schreibt:
2017-04-29 20:47 - Slash in Beitrag No. 961 schreibt:
2017-04-29 12:12 - haribo in Beitrag No. 960 schreibt:
dann kann man auch die beiden mittleren dreiecke (oben+unten) ganz rausnehmen?

Dann wird der 2/4 aus #934 noch beweglicher, also doppelt beweglich. Aber ich bin mir auch hier nicht ganz sicher.

So?

#965
na, ich meinte ansich schon p25 - p9 sowie  p18-p1 jeweils zusammenzubringen...
könnte aber auch trivial enden

Das endet gar nicht, da man seitlich keine Dreiecke mehr hinbekommt. Die äußeren Punkte P5,P12 und P22,P28 haben dann einen Abstand zwischen 3 und ca. 3,46.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.970, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-02


Der MGC jetzt mit eigenem Button "description of function buttons" zur Erklärung der anderen Buttons. Zu finden unter dem Eingabefenster.

MGC (02.05.2017)


Und unserer Beweis ist nun online bei arXiv.

On the existence of 4-regular matchstick graphs

Die anderen beiden wurden geupdatet.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.971, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-04


2017-04-30 11:55 - Slash in Beitrag No. 967 schreibt:


2017-04-28 03:58 - Slash in Beitrag No. 956 schreibt:
Existiert noch ein extremerer starrer Streichholzgraph mit kleineren Winkeln und Abständen als 1,29° und 0.02256318256793?

Das schöne ist, dass dieser Graph mit ca. 0,0215 und ca. 1,23° noch extremer ist als der vermeintliche Rekordgraph von vorher. smile

Die kurze Diagonale der schmalen Raute des 4/11-Kerns ist mit einer Länge von 0,004769184654615 natürlich noch extremer, aber es ist halt kein 4-regulärer sondern ein (3, 4, 11)-regulärer. Nachfolgend soweit reduziert, dass nur eine entfernte Kante Beweglichkeit erzeugt.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.972, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-04


Es gibt einen einfachen (2, 4)-regulären starren Graphen der einen unendlich minimalen Knotenabstand und Winkel besitzt. Man muss nur bei folgendem Graph die beiden Arme verlängern. Allerdings werden so auch Knoten- und Kantenanzahl unendlich groß. Ein Rekord muss also auch hier auf die Minimalität der Knoten- und Kantenanzahl setzen.

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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.973, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-04


Den hatten wir noch nicht.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.974, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-07


Nur so. Mit dem ersten Graph kann man 2/4 mit zwei 2er-Knoten basteln. In den zweiten Graph passt seitlich ein Kite rein und ist dann auch ein 2/4 mit 2.
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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.975, eingetragen 2017-05-07


Auch beim zweiten Graph geht der Winkel mit Button "Feinjustieren(1)" einzustellen. Normalerweise wird dabei der zuerst aufgeführte farbige Abstand (hier P31-P5) auf die nächstgelegene ganzzahlige Länge gebracht (allgemein Länge 1, diesmal Länge 3). Das ist für das Einfügen von Kites nicht geeignet und extra für diesen Zweck kann nach den Punktnummern 31 und 5 als drittes eine Linienfarbe angegeben werden ("" für unverändert rot gestrichelt) und danach als viertes Funktionsargument ein gewünschter Abstand. Dann stellt Button "Feinjustieren(1)" den ersten farbigen Abstand (fast) auf die gewünschte Länge ein.

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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.976, eingetragen 2017-05-08


mein weg wäre:

Q(k,i,j,a*D,b*D)

Q(99,5,31,0.1*D,3.8541*D;       mit 3.8541 als kite spannweite
und dann
R(99,5);      (oder R,99,31) weiss nicht genau welches richtig ist

also eine linie mit kitespannweite zeichnen zu punkt 99 und diesen dann mit einer kleinen messlinie mit dem zielpunkt verbinden und letztere durch das program auf null bringen lassen...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.977, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-08


Neuer 4/4 mit 136. Und schon braucht das neue Paper ein Update. wink

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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.978, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-08


2/4 mit zwei 2er-Knoten mal anders. 94 Kanten.

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Und noch zwei mit 80 Kanten.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.979, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-10


Ich habe mir mal die Mühe gemacht und einen eigenen kleinen Artikel bzw. einen Katalog zu Table 3 aus unserem aktuellen Paper erstellt. Schön mit TikZ Grafiken zum Zoomen. Dieser Artikel ist aber nur eine Ergänzung zu der Liste aus Table 3 und soll nicht in einer Fachzeitschrift veröffentlicht werden. Zumal er bestimmt immer wieder aktualisiert werden muss. Macht so aber einen besseren Eindruck als eine reine Bildersammlung. Zu Table 2 werde ich auch noch so eine Übericht erstellen.

Graphs of Table 3

Ich habe noch ein, zwei Graphen mit 132 bzw. 134 Kanten ergänzt. Ein 140er war falsch, da 160 Kanten. Das war der erweiterte 120er.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.980, eingetragen 2017-05-11


2017-05-08 10:49 - Slash in Beitrag No. 977 schreibt:
Neuer 4/4 mit 136. Und schon braucht das neue Paper ein Update. wink


dieser konkav-konvexe 136 gefällt mir sehr gut



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.981, eingetragen 2017-05-13


Eine Programmversion mit Buttons zum Drehen, Vergrößern, Verkleinern war noch übrig, ich habe sie unter Graph #966 ergänzt.

2017-05-08 07:46 - haribo in Beitrag No. 976 schreibt:
mein weg wäre:

Q(k,i,j,a*D,b*D)

Q(99,5,31,0.1*D,3.8541*D;       mit 3.8541 als kite spannweite
und dann
R(99,5);      (oder R,99,31) weiss nicht genau welches richtig ist

also eine linie mit kitespannweite zeichnen zu punkt 99 und diesen dann mit einer kleinen messlinie mit dem zielpunkt verbinden und letztere durch das program auf null bringen lassen...

Es können nur solche Kanten auf eine bestimmte Länge gebracht werden, die bei Verändern der farbigen Winkel ihre Länge ändern. Bei R(99,5) und R(99,31) geht das nicht, weil sie von Q bereits auf eine unveränderliche Länge gesetzt wurden. Die Idee geht aber zu retten mit Eingabe Q(99,31,4,2.97978244899154*D,D) und dann R(99,2) auf Länge 1 bringen. Wenn man dann P5 bei der vorangegangenen Eingabe weglässt, hat man auch keine doppelten Punkte und Kanten. Die Bedingung an die R(i,j) notiere ich mit in der Kurzbeschreibung und nehme sie später in die ausführliche auf. Es gibt bestimmt noch mehr solcher Klippen, die ich nicht sehe.

Ja die Beschreibung... Im Moment ist es nur eine Streichholzgraph-981.htm Zusammenstellung der bisherigen Programmversionen. Damit kann man sich zumindest die angesammelten Downloadfiles aus einer Seite heraus anschauen. In den einzelnen Versionen sind ja schon etliche ausführliche Beschreibungen enthalten. Doch das pure Herauskopieren und Aneinanderreihen hat mir nicht gefallen, weil immer passende Eingabebeispiele dabei sind zum Anklicken und Probieren. Teilweise sind sie nicht mehr zur jetzigen Version kompatibel oder nicht in optimaler Form eingegeben. Diese Versionen will ich nach und nach ersetzen durch Links innerhalb der Seite.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.982, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-14


Der 2/4 mit 41 besitzt 16 Variationen, wobei die letzten 6 eigentlich eigene Graphen sind wegen des neuen Mittelstücks. Seht ihr noch mehr?






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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.983, eingetragen 2017-05-15


1 weniger und 1 mehr: Von den letzten 6 Graphen ist der zweite um 180° gedreht nochmal dabei und beim letzten kann man auch die linke Flügelspitze noch von oben nach unten drehen.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.984, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-15


2017-05-15 04:59 - StefanVogel in Beitrag No. 983 schreibt:
1 weniger und 1 mehr: Von den letzten 6 Graphen ist der zweite um 180° gedreht nochmal dabei und beim letzten kann man auch die linke Flügelspitze noch von oben nach unten drehen.

Danke. Wie immer sehen vier Augen mehr als zwei.

Ich verlinke dann später den Artikel zur weiteren Kontrolle. Freiwillig natürlich. wink

Hier der Link: Graphs of Table 2


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.985, eingetragen 2017-05-16


alle oberen die keine vertikale symetrieachse haben kann man an der roten linie spiegeln, also sind es dann 16 stück wie es auch zu erwarten ist wenn man an vier stellen jeweils zwei anlegemöglichkeiten hat (2^4=16)


auch die unteren, (wenn es denn schon alle sind? (wiso sind es eigendlich sechs und nicht acht?)), kann man nochmal spiegeln, denke ich



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.986, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-16


2017-05-16 19:58 - haribo in Beitrag No. 985 schreibt:
(wiso sind es eigendlich sechs und nicht acht?)

Wegen des mittleren Teilgraphen (Raute). Dadurch fallen zwei weg, die auch mit Drehung und Spiegelung darstellbar sind. Bei deinem unsymmetrischen 70er sind es acht Versionen, da der Mittel-Teilgraph ebenfalls unysmmetrisch ist.

Generell werden nur die Graphen gezählt, die nicht durch Drehung und Spiegelung eines schon vorhandenen Graphen erzeugt werden können.

Hier sind aber Flüchtigkeitsfehler vorprogrammiert. Deshalb alles kontrollieren und Unklarheiten posten.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.987, eingetragen 2017-05-16




ok, die eine hälfte ist gespiegelt
dann muss ich mal versuchen innerhalb der linken hälfte noch die gedrehten auszusortieren...

... etwas später.....:

ist ja etwas mühsam keine fehler zu machen, aber die zehn sind IMO nicht durch spiegeln oder drehen ineinander zu überführen!
(die obersten jeder spalte sind punktsymetrisch und können darum durch drehen in sich selber überführt werden,)

also hab ich sie mit deinen sechs formen aus #984 verglichen und die vier rosa hinterlegten als neue identifiziert


dann haben wir also jetzt 20 verschiedene 4/2 80iger (ich kann immer noch nur striche und nicht knoten zählen...)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.988, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17


...und 6 Augen sehen mehr als 4. wink

Einer meiner vier weiteren ist anders. Dein ganz rechter mit rosa Hintergrund ist der mittlere links der ersten sechs um 180 Grad gedreht.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.989, eingetragen 2017-05-17


moin slash,

das darf echt nicht wahr sein
evtl sollten wir sie doch nach spannweite sortieren....

also neuer identifikationsversuch:



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.990, eingetragen 2017-05-17




und stell bitte nicht die frage ob alle 240iger 4/4er ringpermutationen herstellbar sind (20^3-spigelduplikaten) ist zzzziemlich viel



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Tolle Grafik mit den Spannweiten! Das muss natürlich auch noch im Artikel erwähnt werden.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.992, eingetragen 2017-05-19


diese anordnung von 80igern mit ortogonalen federsteifen als unsymetrisch vierfach gespiegelter 4/4er knoten ist in gewissem rahmen elastisch!
angeordnet nach einer idee meines bruders...
die elastizität könnte man mal annimieren

ich suche noch eine variante die in noch grösserem bereich beweglich ist, d.h. die federstreifen müssen beide viel stärker komprimiert sein








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haribo
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das dürfte ungefähr der elastischste sein welchen man auf diese weise erstellen kann, auf ne animation der beweglichkeit wäre ich sehr gespannt




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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.994, eingetragen 2017-05-20


Bei der Eingabe verwende ich 6 bewegliche Winkel und am Ende bleiben 5 Kanten übrig, die mit Button "Feinjustieren(5)" auf Länge 1 gebracht werden müssen. Das heißt, 1 Winkel bleibt frei beweglich übrig, der Graph ist einfach beweglich.

fed-Code einblenden

Nun ist es eine mühsame Angelegenheit, den sechsten Winkel höchstens in 0,1°-Schritten (sonst zerknüllt es den Graph) zu verändern und jedesmal die anderen Winkel neu einzustellen.  Dabei stellt sich aber heraus, dass das Innere des Graphen immer symmetrisch bleibt. Deshalb habe ich noch eine andere Eingabevariante ausprobiert, bei der der Graph von Anfang an symmetrisch bleibt und deshalb weniger bewegliche Winkel nötig sind. Das geht dann viel besser zu animieren. Die äußeren Kites habe ich auch symmetrisch angeordnet. Weil von denen nur die Spannweite benötigt wird, hat das keinen Einfluss auf das Innere des Graphen.

fed-Code einblenden

Die Animation startet mit zusammenfallenden Punkten P46=P49 und endet mit zusammenfallenden P46=P43.

Noch ein wenig Theorie: Ein starrer 4/4-Graph hat 3 Einsetzkanten. Wenn er vier Doppelkites enthält, verbrauchen diese 4 Einsetzkanten, dadurch wird der Graph einfach beweglich. Nimmt man an, dass die verlängerten Doppelkites dieses Graphen auch je eine Einsetzkante verbrauchen, dann ist der Graph ebenfalls einfach beweglich. Das extra GAP-Programm sagt zu den verlängerten Doppelkites 2 Einsetzkanten und 1 Beweglichkeit, was wohl eine falsche Beweglichkeit ist. Damit haben die verlängerten Doppelkites effektiv auch je eine Einsetzkante.




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.995, eingetragen 2017-05-20


Ich weiß zwar nicht wie die Animation zu starten wäre?
Aber den Aufbau bei dem zweiten Bild hast du perfekt verstanden
P53 bildet immer mit den festliegenden  Punkten p131 und p45 einen rechten Winkel , also bewegt sich p53 ein Stück weit auf einem taleskreis, (siehe linke Skizze in Bild 993)

Mit federelementen  kann  ab einer Länge von sieben, jede Länge hergestellt werden, genauer ab einer Länge von 6,xx



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.996, eingetragen 2017-05-20


Wie gewohnt die Eingabe aus dem fedgeo-Quelltext in das Streichholzprogramm holen, dann Button "neu zeichnen" und dann den farbigen Kreis links von "Start_Demo" links des SVG-Graphen anklicken, dann sollte die Animation starten.



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haribo
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sehr gut, und vielen dank

könnte eine vier-kammer-pumpe oder herzquerschnitt sein

haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.998, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-21


Ich denke, Fig.17 v8 lässt sich mit Fig.15b beweisen, indem man die rechte Seite spiegelt und mit der Parallelität der roten und blauen Kanten argumentiert.



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Bound to be disappointing so why wait?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.999, eingetragen 2017-05-21


Mit den parallelen roten Kanten, das geht, jetzt nur noch aufschreiben, warum diese parallel sind. Es reicht ja der Beweis für die beiden kurzen oberen roten Kanten.



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