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Universität/Hochschule J Geodesic equation
vandervaart84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-03-10


Hallo Leute,

ich könnte da mal etwas Hilfe gebrauchen. Ich komme bei der Lösung einer Aufgabe überhaupt nicht weiter:

<math>
Let $\phi \mapsto x^\mu(\phi)$ be a geodesic with nonzero velocity vector. Furthermore let $\psi \mapsto \phi(\psi)$ be a differentiable map with $d\phi/d\psi>0$. Show that if $\psi \mapsto y^\mu(\psi):=x^\mu(\phi(\psi))$ also satisfies the geodesic equation (with $\psi$ as curve parameter), then $\phi(\psi) = a\psi+b$.

</math>

Also die geodesic equation lautet ja

<math>
\ddot{x}^\mu
= -
\Gamma_{\nu \rho}^\mu
\dot{x}^\nu \dot{x}^\rho
</math>

(auf der linken Seite der gleichung  soll ein doppeldot von <math>x^\mu</math>  stehen, also die 2. Ableitung von <math>x^\mu</math> nach der Eigenzeit, das funktioniert jetzt aber leider nicht, sorry)

Aber ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich die Aufgabe lösen kann. Kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?

viele grüße



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-11


Vielleicht hilft ja der Tipp, das die Geodaeten-Gleichung nicht nur im Falle von "Ableitung nach Eigenzeit", so wie du das geschrieben hast, gilt, sondern auch fuer jede andere Parametrisierung?



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vandervaart84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-12


Hallo moep,

danke für deinen Tipp.
Ich habe es jetzt mal probiert, aber bin mir nicht wirklich sicher ob das so richtig ist:

Die Geodätengleichung ist ja für
<math>
\ddot{x}^\mu = -\Gamma_{\nu \rho}^\mu \dot{x}^\nu \dot{x}^\rho
</math>

dann ist sie für y
<math>
\ddot{y}^\mu = -\Gamma_{\nu \rho}^\mu \dot{y}^\nu \dot{y}^\rho
</math>

Betrachtet man
<math>
y^\mu(\psi) = x^\mu(\phi(\psi)) \text{ mit }
\phi(\psi)= a\psi+b
</math>

dann müssten die Ableitungen ja so aussehen:
<math>
\dot{x} = \frac{dx}{d\phi} \frac{d\phi}{d\psi} = \frac{dx}{d\phi}a
\newline
\dot{y} = \frac{dy}{d\psi}
\newline
\ddot{x} = \frac{d\dot{x}}{d\phi} \frac{d\phi}{d\psi}
= \frac{d^2x}{d\phi^2}a^2
\newline
\ddot{y} = \frac{d^2y}{d\psi^2}
</math>

Dann ist ja
<math>
d\psi = d\phi /a
</math>
und nach Definition
<math>
y(\psi):= x(\phi(\psi))
</math>

und setzt man das in die Geodätengleichung für x ein erhält man ja:
<math>
\ddot{x}^\mu(\phi) =
\ddot{y}^\mu(\psi) =
-\Gamma_{\nu \rho}^\mu \dot{x}^\nu(\phi) \dot{x}^\rho(\phi)
=
-\Gamma_{\nu \rho}^\mu \dot{y}^\nu(\psi) \dot{y}^\rho(\psi)
</math>

Könnte das die Lösung sein?

Vielen Dank und viele Grüße
vdv84



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-13


Hallo vandervaart84,
2016-03-12 16:01 - vandervaart84 in Beitrag No. 2 schreibt:

Dann ist ja
<math>
d\psi = d\phi /a
</math>
und nach Definition
<math>
y(\psi):= x(\phi(\psi))
</math>

und setzt man das in die Geodätengleichung für x ein erhält man ja:
<math>
\ddot{x}^\mu(\phi) =
\ddot{y}^\mu(\psi) =
-\Gamma_{\nu \rho}^\mu \dot{x}^\nu(\phi) \dot{x}^\rho(\phi)
=
-\Gamma_{\nu \rho}^\mu \dot{y}^\nu(\psi) \dot{y}^\rho(\psi)
</math>

Könnte das die Lösung sein?

Vielen Dank und viele Grüße
vdv84

Mir ist nicht wirklich klar, was du hier machst. Werden x und y nach demselben Parameter abgeleitet oder nicht? Ich glaube es wäre sinnvoller zuerst die Geodätengleichung in den neuen Koordinaten hinzuschreiben und dann die Koordinatentransformation zu machen. Dafür kann man folgendes benutzen:
<math>\frac{\text{d}y^\mu(\psi)}{\text{d}\psi}=\frac{\text{d}x^\mu(\phi)(\psi))}{\text{d}\psi}=\frac{\text{d}x^\mu(\phi)}{\text{d}\phi }\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\psi}=\frac{\text{d}x^\mu(\phi)}{\text{d}\phi}a</math>
und folglich:
<math>\frac{\text{d}^2y^\mu(\psi)}{\text{d}\psi^2}=\frac{\text{d}^2x^\mu(\phi)}{\text{d}\phi^2}a^2</math>.
Nun kann man die Geodätengleichung in den neuen Koordinaten betrachten:
<math>\frac{\text{d}^2y^\mu(\psi)}{\text{d}\psi^2}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\frac{\text{d}y^\rho(\psi)}{\text{d}\psi}\frac{\text{d}y^\sigma(\psi)}{\text{d}\psi}</math>.
Kannst du nun die Rechnung beenden?
lg Wladimir



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vandervaart84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-13


hallo wladimir
ja genau so meinte ich es auch und dass sich dann am Ende auf beiden Seiten der Gleichung jeweils <math>a^2</math> und <math>a^2</math>
kürzen zur Geodätengleichung in neuen Koordinaten.

Vielen Dank und viele Grüße
vdv84



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