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Physik » Relativitätstheorie » Energie-Impuls-Erhaltung an Feynman-Diagrammknoten
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Universität/Hochschule J Energie-Impuls-Erhaltung an Feynman-Diagrammknoten
bass
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-03-30


Maggiore schreibt in seinem QFT-Buch bei der Beschreibung von Feynman-Regeln, dass an jedem Knoten die Energie-Impuls-Erhaltung garantiert sein muss.

Sei <math>p_i</math> die Summe der 4-Impulse der eingehenden, und <math>p_f</math> die Summe der 4-Impulse der ausgehenden Linien eines bestimmten Knotens.

Heisst Maggiore's Aussage nun, dass

<math>\displaystyle
p_i = p_f
</math>

oder dass

<math>\displaystyle
p_i^2 = p_f^2
</math>

Mit anderen Worten, ist der totale 4-Impuls <math>p</math> erhalten, oder seine Minkowski-Länge <math>p^2=E^2-p^2</math>?

Ich würde mal auf Ersteres tippen, bin mir aber nicht mehr sicher, da z.B. bei den Lorentz-Transformationen ja nur die Minkowski-Länge erhalten bleibt.




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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-30


Hallo bass,

hier bedeutet es ersteres. Jeder Vertex im Diagramm bekommt eine Deltadistribution der eingehenden und ausgehenden 4-Impulse, <math>\delta^{(4)} ( \sum\limits_{i} p_i )</math>, der zur Streuamplitude beiträgt (siehe Feynman-Regeln und deren Herleitung). Das ist ein allgemeines Prinzip, das für jede relativistische Theorie notwendigerweise gelten muss.

Grüße,
PhysikRabe


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bass
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-30


Hallo PhysikRabe

Herzlichen Dank.

Stimmt folgende Gegenüberstellung?

Lorentz-Transformationen:
- erhalten die Minkowski-Längen der 4-Impulse
- erhalten aber offensichtlich weder Energie noch 3-Impuls

Interaktionen von Teilchen und Feldern:
- erhalten den totalen 4-Impuls des Systems (Energie- und Impulserhaltung)
- erhalten die Minkowski-Länge des totalen 4-Impuls, aber nicht diejenigen der 4-Impulse der einzelnen Teilchen.

Vielen Dank!
Gruss Bass



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-31


Fast.

2016-03-30 22:26 - bass in Beitrag No. 2 schreibt:
Lorentz-Transformationen:
- erhalten aber offensichtlich weder Energie noch 3-Impuls
Was meinst du damit? Die Gesamtenergie (wie auch der Gesamtimpuls) ist immer erhalten.

Grüße,
PhysikRabe


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bass
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-31


2016-03-31 13:59 - PhysikRabe in Beitrag No. 3 schreibt:
2016-03-30 22:26 - bass in Beitrag No. 2 schreibt:
Lorentz-Transformationen:
- erhalten aber offensichtlich weder Energie noch 3-Impuls
Was meinst du damit? Die Gesamtenergie (wie auch der Gesamtimpuls) ist immer erhalten.

Hmm, ich dachte unter Lorentz-Boosts eben nicht. Zum Beispiel ein Elektron in seinem Ruhesystem, das hat ja keine kinetische Energie, und der 3-Impuls ist ebenfalls 0.

Wenn ich nun mit <math>\gamma=0.9999999999</math> in eine Richtung booste, dann fliegt das Elektron mit fast Lichtgeschwindigkeit durch die Gegend. Seine Energie ist viel grösser als vorher, und sein Impuls ebenfalls.

In anderen Worten, Energie und Impuls sind keine Lorentz-invarianten Grössen, oder?



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-03-31


2016-03-31 16:03 - bass in Beitrag No. 4 schreibt:
Hmm, ich dachte unter Lorentz-Boosts eben nicht. Zum Beispiel ein Elektron in seinem Ruhesystem, das hat ja keine kinetische Energie, und der 3-Impuls ist ebenfalls 0.

Wenn ich nun mit <math>\gamma=0.9999999999</math> in eine Richtung booste, dann fliegt das Elektron mit fast Lichtgeschwindigkeit durch die Gegend. Seine Energie ist viel grösser als vorher [...]
In welchem System denn? Zuerst sprichst du vom Ruhesystem des Elektrons, dann vom Laborsystem, in dem es sich mit fast Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Die Energie-Erhaltung muss immer gelten, denn es wird angenommen, dass physikalische Gesetze und Messvorgänge zeitlich invariant sind (Noether-Theorem). Das respektiert auch die Relativitätstheorie.

Grüße,
PhysikRabe


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bass
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-01


Genau das meine ich doch: die totale Energie eines Systems hängt vom Bezugssystem ab, in dem es betrachtet wird. Ein Elektron hat in seinem Ruhesystem eine geringere totale Energie als in einem Inertialsystem, das relativ zum Elektron bewegt ist.

Das sieht man doch nur schon an der Lorentz-Transformation:

4-Momentum des Elektrons in seinem Ruhesystem: <math>p_R=(m_e, 0, 0, 0)</math>

4-Momentum des Elektrons in einem Inertialsystem, das relativ zum Elektron mit Rapidität <math>\zeta</math> bewegt ist: <math>p_\zeta=(m_e\,\mathrm{cosh}\zeta, -m_e\,\mathrm{\sinh}\zeta, 0, 0)</math>

Da <math>\mathrm{cosh}\zeta > 1</math> für alle <math>\zeta\neq 0</math>, muss die Energie des Elektrons <math>p_\zeta^0</math> im bewegten Bezugssystem grösser sein als seine Energie <math>p_R^0</math> im Ruhesystem.

Im folgenden Thread wird es so formuliert: die Energie ist nicht Lorentz-invariant, sondern Lorentz-kovariant:

www.physicsforums.com/threads/why-is-energy-momentum-tensor-lorentz-invariant.408912/

Oder habe ich das komplett falsch verstanden?

Gruss Bass



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2016-04-01


2016-04-01 12:28 - bass in Beitrag No. 6 schreibt:
4-Momentum des Elektrons in seinem Ruhesystem: <math>p_R=(m_e, 0, 0, 0)</math>

4-Momentum des Elektrons in einem Inertialsystem, das relativ zum Elektron mit Rapidität <math>\zeta</math> bewegt ist: <math>p_\zeta=(m_e\,\mathrm{cosh}\zeta, -m_e\,\mathrm{\sinh}\zeta, 0, 0)</math>

Natürlich sind die Energien des Elektrons unterschiedlich: Im Laborsystem ruht das Elektron zuerst, dann bewegt es sich, es hat also zusätzliche kinetische Energie. Energieerhaltung bezieht sich auf die Gesamtenergie des isolierten Systems (hier das Labor mit dem Elektron). Und diese Gesamtenergie ist notwendigerweise erhalten, denn du musstest ja Energie in das Elektron stecken, um es auf eine gewisse Geschwindigkeit zu bringen. Die Schwerpunktsenergie (auch invariante Masse genannt, das ist die Länge der 4-Impulse) ist übrigens die selbe. Das ist auch klar, denn als Länge eines 4-Vektors ist es ein Lorentz-Skalar, d.h. invariant unter Lorentz-Transformationen.

Was den von dir verlinkten Thread betrifft: Du vermischt zwei unterschiedliche Dinge, nämlich die Kovarianz von 4-Tensoren und Erhaltungsgrößen. Der Energie-Impuls-Tensor ist ein 4-Tensor, also kovariant unter Lorentz-Transformationen (weißt du, was Kovarianz bedeutet?). Der 4-Impuls ist ein 4-Vektor, also kovariant unter Lorentz-Transformationen. Die Gesamtenergie des Systems ist eine Erhaltungsgröße, d.h. die Gesamtenergie eines isolierten Systems ändert sich nicht mit der Zeit. Und das respektieren auch relativistische Prozesse. Energie wird in Prozessen in andere Formen umgewandelt; Energie kann weder verloren gehen noch aus dem "Nichts" kommen.

Grüße,
PhysikRabe


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phoenix1986
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2016-04-01


2016-04-01 14:20 - PhysikRabe in Beitrag No. 7 schreibt:

Was den von dir verlinkten Thread betrifft: Du vermischt zwei unterschiedliche Dinge, nämlich die Kovarianz von 4-Tensoren und Erhaltungsgrößen. Der Energie-Impuls-Tensor ist ein 4-Tensor, also kovariant unter Lorentz-Transformationen (weißt du, was Kovarianz bedeutet?). Der 4-Impuls ist ein 4-Vektor, also kovariant unter Lorentz-Transformationen.

Grüße,
PhysikRabe

Hi

Sorry für den kleinen Einschub, aber ist denn ein Tensor nicht bzgl. allen Koordinatentransformationen (lokal?) kovariant?

Gruss
Daniel



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bass
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Ich bin ja mit allem einverstanden was Du schreibst. Die Gesamtenergie eines Systems ist in allen Prozessen erhalten. Was ich meine, ist dass die Gesamtenergie eines Systems aus unterschiedlichen Inertialsystemen betrachtet unterschiedlich hoch ausfällt. Nochmals ein Beispiel:

Alice ist auf der Erde und Bob auf einem sich schnell bewegenden Raumschiff stationiert und beide versuchen, die gesamte kinetische Energie unserer Galaxie zu messen.

Werden sie denselben Wert errechnen?

Nein, denn aus Bob's Inertialsystem bewegt sich die gesamte Galaxie mit grosser Geschwindigkeit und hat darum eine höhere kinetische Energie als aus Alice's Sicht.

Klar brauchte es Energie, um Bob's Raumschiff zu beschleunigen, aber diese Energiemenge ist viel kleiner als die kinetische Energie, die er für die Bewegung der Galaxie berechnet.

Aus diesem Grund ist die Gesamtenergie eines Systems unter Lorentz-Trafos nicht invariant. Das heisst natürlich nicht, dass Energie "aus dem Nichts" kommt, denn in jedem Inertialsystem gilt die Energieerhaltung.

Wie Du ja selbst sagst, der 4-Impuls transformiert kovariant, das heisst dass seine Zeitkomponente, also die Energie, nicht invariant ist.

Es ist ähnlich wie bei der Drehimpulserhaltung. Diese gilt selbstverständlich, ein sich um die z-Achse drehendes System wird sich ohne äusseren Einfluss immer um die z-Achse drehen. Wenn man es aber aus einem anderen Winkel betrachtet, dann dreht es plötzlich um eine andere Achse.

Das ist genau derselbe Fall wie bei der Energie und den Lorentz-Transformationen. In einem Inertialsystem ist die Energie erhalten, aber das heisst nicht, dass sie unter Lorentz-Trafos (also aus verschiedenen "Blickwinkeln der Raumzeit") gleich aussieht.



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PhysikRabe
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2016-04-01 16:57 - bass in Beitrag No. 9 schreibt:
Das ist genau derselbe Fall wie bei der Energie und den Lorentz-Transformationen. In einem Inertialsystem ist die Energie erhalten, aber das heisst nicht, dass sie unter Lorentz-Trafos (also aus verschiedenen "Blickwinkeln der Raumzeit") gleich aussieht.

Genauso ist es. Ich wollte nur nicht, dass Missverständnisse aufkommen, aber dann hast du ja alles richtig verstanden.  😄

@phoenix1986:

2016-04-01 14:51 - phoenix1986 in Beitrag No. 8 schreibt:
Sorry für den kleinen Einschub, aber ist denn ein Tensor nicht bzgl. allen Koordinatentransformationen (lokal?) kovariant?

4-Tensoren sind (per Definition) unter Lorentz-Transformationen kovariant. Dies beinhaltet auch "übliche" Koordinatentransformationen (Translationen, Skalierungen, Rotationen, ...).

Grüße,
PhysikRabe


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2016-04-01 19:04 - PhysikRabe in Beitrag No. 10 schreibt:
Genauso ist es. Ich wollte nur nicht, dass Missverständnisse aufkommen, aber dann hast du ja alles richtig verstanden.  😄

Danke für Deine Hilfe! 😄

Gruss Bass



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