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Funktionentheorie » Holomorphie » Realteil und Imaginärteil unendlich oft diffbar
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Universität/Hochschule Realteil und Imaginärteil unendlich oft diffbar
tidus1915
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  Themenstart: 2016-05-08

Hallo, ich arbeite gerade an folgender Aufgabe: Gegeben sei eine holomorphe Funktion f sowie eine offene (nicht leere) Teilmenge U \subset\ \IC. Zu zeigen ist nun, dass Re(f) und Im(f) \el\ C^\inf auf U sind. Gedacht habe ich mir dabei folgendes: Wenn f holomorph ist, dann ist insbesondere f \el\ C^\inf auf U. Das bedeutet für f(x+iy) = u(x,y)+i*v(x,y) erfüllen Re(f) und Im(f) die CRDGL. Da f nach dem Lemma von Goursat ja beliebig oft diffbar ist, gilt die selbe Behauptung auch für f'(z), also erfüllen auch Re(f'(z)) und Im(f'(z)) die CRDGL. Ich bin allerdings noch nicht so ganz im reinen mit dieser Aussage, da das ja implizieren würde, dass Re'(f) = Re(f') (selbiges für den Imaginärteil) Ich danke für eure Hilfe


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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-05-08

Hallo, Ich würde Re(f) und Im(f) als holomorphe Funktionen interpretieren. Damit sind sie aus C^oo.


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tidus1915
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-08

Das hab ich noch nicht so ganz verstanden. In wie fern folgt denn aus der Holomorphie von f, dass Re(f) und Im(f) ebenfalls holomorph sind?


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piquer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2016-05-08

Hi, das ist im Allgemeinen falsch. Denn wären $\Re f$ und $\Im f$ holomorphe Funktionen, dann wäre es auch $\overline f = \Re f - i \Im f$ holomorph. Dann ist aber $f = 0$ und somit die Aussage trivial. Grüße piquer


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piquer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2016-05-08

Zur eigentlichen Aufgabe: Du meinst mit $C^\infty$ sicher, dass $f$ unendlich oft komplex diff'bar ist. Als Idee: $f$ induziert eine total diff'bare Abb. $\hat f$ von $\IR^2$ nach $\IR^2$. Was bedeutet das für die Koordinatenfunktionen von $\hat f$? Wie stehen diese in Verbindung mit $\Re f$ und $\Im f$?


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tidus1915
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-08

Was ich mich gerade gefragt habe ist folgendes: Die Funktionen f(z) = Re(z) und g(z) = Im(z) sind ja nirgends komplex diffbar. Für eine Funktion f(z) sind Re(f) und Im(f) ja beide reellwertige Funktionen. Müsste ich dann in der Aussage nicht auf reelle Differenzierbarkeit prüfen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.] Edit: Was genau meinst du mit den Koordinatenfunktionen? Ich kann mir darunter grad nur folgendes vorstellen: Für f(x+iy) = u(x,y)+i*v(x,y) kann man f als Abbildung von \IR^2 nach \IR^2 auffassen, mit (x;y) -> (u(x,y);v(x,y)) Das mag etwas seltsam aufgeschrieben sein, aber ich hoffe man versteht was ich meine


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  Beitrag No.6, eingetragen 2016-05-08

www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/09/090703.pdf Dort steht falls f analytisch ist, so ist f oo oft stetig differenzierbar. Das gilt auch für Real und Imaginärteil.


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tidus1915
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-08

Wir haben bisher den Begriff der Fortsetzbarkeit aber noch nicht definiert. Ich mache mir aber gerade Gedanken, ob man mit dem zweiten Teil des Argumentes etwas anfangen kann. Wenn f(x+iy) = u(x,y)+i*v(x,y) und f(z) \el\ C^\inf ist, müsste man dann nicht darauf schließen können, dass u(x,y) und v(x,y) \el\ C^\inf(\IR) sind? Bzw. um das Argument auszuführen: Wenn f holomorph ist, bedeutet das ja, dass die von f induzierte Abbildung über dem \IR^2 total diffbar ist. Da aus der Holomorphie von f ja auch die holomorphie von f^{(n)} folgt, muss auch die Abbildung von \\IR^2 ->\IR^2 unendlich oft diffbar sein. Da gerade u(x,y) = Re(f) und v(x,y) = Im(f) gilt wäre die Aussage bewiesen. Dabei bleibt für mich allerdings noch das selbe Problem wie eingangs beschrieben. Ich lass mir den Gedanken nochmal durch den Kopf gehen...


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