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Analysis » Folgen und Reihen » Fibonacci-Folge
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Autor
Universität/Hochschule J Fibonacci-Folge
suu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.10.2002
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-10-23


a)  fn sei die folge der fibonacci- zahlen, mit f0= 0 und f1= 1

     beweise:
     fn+1×fn-1- fn²=(-1)n

b)  an+1:= 1+ 1/an mit a0:= 1

     zeige: an-1= fn+1/fn

c) warum gilt eigentlich fm+n = fm+1fn+ fmfn-1  ?

vielen dank im voraus !!

gruß suu




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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 13988
Aus: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-23


Hi suu,,

die Fibonacci-Folge ist definiert durch:

   f(0) = 1

   f(1) = 1

   f(n+1) = f(n)+f(n-1) für n>=1

Induktionsanfang:
n=1: f(0)*f(2) = 2 = 1²+(-1)1+1. Stimmt.

Induktionsvoraussetzung;
f(n+1)*f(n-1)-f(n)² = (-1)n+1

Induktionsschritt:
   Zeige f(n+2)*(f(n)-f(n+1)² = (-1)n+2
   Und das geht so (mit ### Erklärungen):

   f(n+2)*f(n)-f(n+1)²
      ### Einsetzen der Rekursion f(n+2)=f(n+1)+f(n)
   = [f(n+1)+f(n)]*f(n)-f(n+1)²
      ### Ausmultiplizieren
   = f(n+1)*f(n) + f(n)² - f(n+1)²
      ### f(n+1) ausklammern
   = f(n+1)*[f(n) - f(n+1)] + f(n)²

      ### Nun ist f(n+1)=f(n)+f(n-1), also f(n)-f(n+1)=-f(n-1).
   Damit hat man:

   = f(n+1)*[-f(n-1)] + f(n)²
   = - f(n+1)*f(n-1) + f(n)²

      ### Das Produkt wird mit der Induktionsvoraussetzung
   ersetzt:

   = - f(n)² -(-1)n+1 + f(n)²
   = (-1)n+2

Das war der erste Beweis.

Gruß
Matroid

[ Nachricht wurde editiert von matroid am 2002-10-23 20:11 ]



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Fabi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4494
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-24


Zu den anderen beiden:
Bei b) ist nach Induktionsvorausetzung an-1 = fn+1/fn.
Es ist an = 1/an-1.
Nach Induktionsvoraussetzung ist dann an = 1+fn/fn+1.
Die Behauptung ist: an = fn+1/fn+1
Um die Richtigkeit zu überprüfen, setzte das für an oben ein.
Du bekommst fn+2/fn+1 = 1+fn/fn+1
Multiplizieren mit fn+1 stellt eine wahre Aussage her, also ist die Behauptung erwiesen.
Bei c) induzierst du nach n:
Für n = 2 ist die Aussage richtig, da fm+2 = fm+fm+1 /f1 und f2</sub sind 1). Für n=3 musst du sie auch noch zeigen, dasonst der Schritt mit n-1 falsch wird.
Gelte also die Aussage für n und auch für n-1. Zu zeigen ist:
fm+n+1 = fm+1*fn+1+fm+fn
Es ist fm+n+1 = fm+n+gm+(n-1).
Darauf wendest du zweimal die Induktionsvoraussetzung an:
fm+n = fm+1*fn+fm*fn-1  und
fm+(n-1) = fm+1*fn-1+fm*fn-2
Einsetzen in obige Gleichung und zeigen,d ass die entstehende Gleichung wahr ist.
Gruß
Fabi



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