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Mechanik » Theoretische Mechanik » Pendel an horizontaler Feder
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Universität/Hochschule J Pendel an horizontaler Feder
greenbrain
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  Themenstart: 2016-05-24

Hi liebe Matheplanetarier, ich habe folgende Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn jemand einen prüfenden Blick darüber werfen könnte: "Ein punktförmiger Pendelkörper mit Masse $m_1$ hängt an einem masselosen Stab der Länge $l$. Der ebenfalls punktförmige Aufhängepunkt des Pendels besitzt die Masse $m_2$ und kann reibungsfrei horizontal gleiten. Auf den Aufhängepunkt wirkt die Federkraft $\vec{K}=-kx \vec{e_x}$. Auf den Pendelkörper wirkt die Gewichtskraft. Die Bewegung finde nur in der x-y-Ebene statt. a) Lagrangefunktion für geeignete verallg. Koordinaten bestimmen b) Bewegungsgleichungen herleiten" a) Zuerst habe ich die Zwangsbedingungen (Anzahl $Z$) aufgestellt, um die Anzahl $F$ der verbleibenden Freiheitsgrade zu bestimmen: $z_1=0\hspace*{1cm}z_2=0$ $y_2=0$ $(x_1-x_2)^2+y_1^2-l^2=0$ $F=3N-Z=6-4=2$ => Das System ist durch zwei Koordinaten vollständig bestimmt. Ich habe $x$ (ursprünglich $x_2$) und den Auslenkwinkel $\phi$ gewählt. Der Zusammenhang zwischen $x_1 , y_1$ und $\phi$ ist: $x_1=x+l sin(\phi)\hspace*{1cm}\dot{x_1}=\dot{x}+l cos(\phi)\dot{\phi}\\ y_1=-l cos(\phi)\hspace*{1.4cm}\dot{y_1}=l sin(\phi)\dot{\phi}$ Die kinetische Energie T ist $T=\cfrac{m_2}{2}\dot{x}^2+\cfrac{m_1}{2}(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)\\ =\cfrac{m_2}{2}\dot{x}^2+\cfrac{m_1}{2}(\dot{x}^2+2\dot{x} l cos(\phi)\dot{\phi}+l^2 \dot{\phi}^2)\\ =\cfrac{m_2}{2}\dot{x}^2+\cfrac{m_1}{2}\dot{x}^2+m_1\dot{x}\dot{\phi} l cos(\phi)+\cfrac{m_1}{2} l^2\dot{\phi}^2$ Die potentielle Energie ist $V=\cfrac{1}{2}k x^2+m_1 g l(1-cos(\phi))$ Damit ist die Lagrange-Funktion $L=T-V=\cfrac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^2+m_1\dot{x}\dot{\phi} l cos(\phi)+\cfrac{m_1}{2} l^2\dot{\phi}^2-\cfrac{1}{2} k x^2-mgl(1-cos(\phi))$ b) Bewegungsgleichungen.. 1) ..für $x$ $\cfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=(m_1+m_2)\dot{x}+m_1\dot{\phi}l cos(\phi)$ $\cfrac{\partial L}{\partial x}=-k x$ $\cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\ddot{x}(m_1+m_2)+m_1 l(\ddot{\phi}cos(\phi)-\dot{\phi}^2 sin(\phi))$ $\cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}-\cfrac{\partial L}{\partial x}=0\Leftrightarrow$ \ x^** (m_1+m_2)+k x=-m_1 l (\phi^** cos(\phi)-\phi^*^2 sin(\phi)) (meine Latexzeile "\ddot{x} (m_1+m_2)+m_1 l ( \ddot{\phi) cos(\phi)-\dot{\phi}^2 sin(\phi))=-k x" wurde aus irgendeinem Grund nicht angenommen, wo ist der Fehler?) Bevor ich mir die Mühe mache, die Gleichungen für $\phi$ zu texen, würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich nicht schon vorher fundamentale Fehler begangen hab. Lieben Dank und viele Grüße gb


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-05-24

Hallo greenbrain, \quoteon(2016-05-24 12:34 - greenbrain im Themenstart) (meine Latexzeile "\ddot{x} (m_1+m_2)+m_1 l ( \ddot{\phi) cos(\phi)-\dot{\phi}^2 sin(\phi))=-k x" wurde aus irgendeinem Grund nicht angenommen, wo ist der Fehler?) \quoteoff den Fehler habe ich rot markiert. Vor Funktionsnamen wie sin und cos gehört ein \, damit sie richtig dargestellt werden: $\displaystyle \ddot{x} (m_1+m_2)+m_1 l ( \ddot{\phi} \cos(\phi)-\dot{\phi}^2 \sin(\phi))=-k x$ Auf den ersten oberflächlichen Blick ist mir nur aufgefallen, dass Du zuerst die Koordinaten $z_1$ und $z_2$ verwendest, dann aber zu $x_1$ und $x_2$ wechselst. In welcher Richtung wirkt die Schwerkraft? Servus, Roland


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greenbrain
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-24

Oh, vielen Dank - doch ein grober Patzer. Danke für den Hinweis mit sin/cos! Bin LaTeX-Einsteiger ;-) $z_1$ und $z_2$ habe ich nur für die Betrachtung der Freiheitsgrade mit einbezogen (damit $F=3N-Z$ hinhaut) obwohl die z-Achse für diese Aufgabe gar keine Rolle spielt. Die Bewegung findet ausschließlich in der x-y-Ebene statt und die Schwerkraft wirkt in negative y-Richtung. LG gb


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