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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Gefahren der asymptotischen Notation
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Autor
Universität/Hochschule J Gefahren der asymptotischen Notation
dreamerin
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Dabei seit: 17.10.2002
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-10-24


Hi, noch eine letzte, falls jmd hier ein Tipp hat:

Finden Sie einen Fehler in dem folgenen Argument, dessen Konklusion Sie hoffentlich nicht akzeptieren:

Behauptung: 2n = O(1)

Beweis: durch Induktion. Die Behauptung ist klar für n = 1, denn 2 = O(n). Nehmen wir jetzt induktiv an, dass 2n-1 = O(1). Wir müssen zeigen, dass 2n = O(1); aber das ist offensichtlich, denn:

2n = 2 ·  2n-1 = O(2n-1) = O(1)

Kann da jemand helfen?
lg



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Plex_Inphinity
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-24


Hi,

der Fehler ist , dass der ganze Beweisansatz falsch gewählt wurde.
Mit 2^n = O(1) möchte man ja ausdrücken, dass für  die FUNKTION f:IN -> IN mit f(n) = 2^n gilt f = O(1).
Wenn man aber nun wie hier per Induktion zeigt, dass
für alle n aus IN gilt , dass 2^n = O(1), macht das  keinen Sinn, da in diesem Fall 2^n für jedes n ein bestimmter WERT wäre und keine Funktion.

Will man die Behauptung per Induktion beweisen, muß man folgendes zeigen:

Es existiert ein c und ein n0 aus IN, so dass für alle n>=n0 gilt: 2^n <= c*1,       

was gerade die Definition von 2^n = O(1) ist.



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