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Integration » Riemannsche Summen » Grenzwert einer Folge mit Riemann-Summe
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Universität/Hochschule J Grenzwert einer Folge mit Riemann-Summe
yafoo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-07-11


Guten Abend zusammen,

folgender Grenzwert lässt mich verzweifeln:
<math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}\right)</math>

Mein Idee:
<math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+...+\frac{1}{3}\right) = \lim\limits_{n \to \infty} \left(2 \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}}+...+\frac{1}{3}\right)=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+...+\frac{1}{6}\right)</math>

Wie muss ich meine Zerlegungen wählen bzw. ist das überhaupt die richtig Idee/Umsetzung?

Vielleicht dahingehend die allgemeinere Frage: wie finde ich die passende Zerlegung raus? Prinzipiell ist die doch frei wählbar oder? Nur bedingt die Zerlegung in so einem Aufgabentypus ja die Grenzen er Integrale, wenn ich das Konzept richtig verstanden habe.

Besten Dank,
Yafoo



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-07-11


Wie wird die Summe in den Klammern gebildet?
Oder meinst du <math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dotso+\frac{1}{3n-1}+\frac{1}{3n}</math>




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yafoo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-11


Hey yuyu,

nein, das ist kein Tippfehler. <math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+....+\frac{1}{3n}</math> steht so vor mir geschrieben.

Dementsprechend ist mein Problem die Bildung der Summe.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-07-11


Hmm, also ich finde die Schreibweise mit den Pünktchen hier alles andere als klar.

Kannst du die originale Aufgabenstellung posten?



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yafoo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-11


Die Originalaufgabe lautet nur <math>\text{Berechnen Sie den Grenzwert!}</math>, eben genau den angegebenen.

Ich stehe wahrscheinlich nur völlig auf dem Schlauch.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-07-11


Also zumindest ich weiß nichts mit dieser Pünktchenschreibweise anzufangen. Meiner Meinung nach ist völlig unklar, wie die Summe weitergehen soll.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2016-07-11


Hallo Yafoo,

den ersten Summanden kannst du für große n vernachlässigen. Es verbleibt also die Summe von Yuyu. Es geht also um <math>\int_{0}^{2} \! \frac{1}{1+x} \, dx </math>.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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iveL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2016-07-11


Hallo zusammen,

ich vermute, dass es zu 99% ein Tippfehler ist.
@yafoo: Kommst du denn bei dem "abgeänderten Grenzwert" weiter?

Gruß iveL

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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yafoo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-11


Danke iveL und Kuestenkind.

Vermute ich auch. Dann weiß ich aber wie der Grenzwert zu lösen ist.

Habt ihr vielleicht noch einen Tipp für die letzte Frage hinsichtlich der Zerlegungen?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2016-07-12


Hallo yafoo,

ja - du hast mehrere Möglichkeiten zu wählen. Als Beispiel wäre hier auch folgendes möglich:

<math>\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{2n}{n+k}=\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{\tfrac{1}{2}+\tfrac{k}{2n}} </math>.

Als Integral erhältst du dann <math>\int_{0}^{1} \! \frac{1}{\tfrac{1}{2}+x} \, dx </math>, welches natürlich den gleichen Wert liefert.

Gruß,

Küstenkind



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yafoo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-13


Danke Küstenkind! Das habe ich verstanden.

Kann man das irgendwie allgemeiner fassen?

Bspw: <math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{n^{k+1}}</math> Als Ergebnis erhalte ich das Integral <math>\displaystyle \int\limits_{0}^{1} x^k dx</math> Wie sollte ich hier die Zerlegung wählen? Ich bin mir oft unsicher, woran ich eine geeignete Wahl erkenne.

Oder hier: <math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \big[(n+1)(n+2)(n+3)\cdot\cdot\cdot(n+n)\big]^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{j=1}^n (n+j)^{\frac{1}{n}}</math> Setze ich hier jetzt <math>x=n+j, P=\{n+1,n+2,...,2n\}</math>?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2016-07-13


Hallo yafoo,

tut mir leid, allgemein kann ich das nicht fassen (vielleicht jemand anders?). Man nimmt halt die Zerlegung die passt, da macht Übung dann wohl auch den Meister, wie es so schön heißt. Aufgabe 1 stimmt doch:

<math>\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (\frac{i}{n})^k</math>

Das führt also auf dein Integral.

Bei der zweiten Aufgabe hilft der Logarithmus um erstmal eine Summe zu erzeugen.

<math>\displaystyle y= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \big[(n+1)(n+2)(n+3)\cdot\cdot\cdot(n+n)\big]^{\frac{1}{n}} </math>

<math>\ln(y)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n\ln(1+\frac{k}{n})</math>

Geht n gegen unendlich, ergibt sich also das Integral:

<math>\ln(y)=\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \ln(1+x) dx=2\ln{2}-1</math>

Als Grenzwert erhalten wir also <math>y=e^{2\ln{2}-1}=\frac{4}{e}</math>

Gruß,

Küstenkind



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2016-07-13


2016-07-11 22:47 - yafoo in Beitrag No. 2 schreibt:
nein, das ist kein Tippfehler.
Hi yafoo,
doch, einer vom Aufgabensteller.
Dein Grenzwert stimmt nicht, ... (//EDIT:war eine andere Aufgabe). Das richtige Ergebnie ist ln(3).
Gruß Buri



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2016-07-13


Hallo Buri,

da verwechselst du wohl was. Ich habe mittlerweile 2 Integrale geliefert, die beide den Wert ln(3) haben. Das letzte Ergebnis stammt von einer anderen Aufgabe, daher ist sehr wohl die e-Funktion anzuwenden.

Aber dann habe ich auch eine Frage:

Du schreibst (wie iveL auch) von einem Tippfehler. Das mag sein. Ich schrieb dazu:

"den ersten Summanden kannst du für große n vernachlässigen"

Darf man das nicht? Sind folgende Grenzwerte also unterschiedlich:

<math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}...+\frac{1}{3n}\right)</math>

<math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n}\right)</math>

?

Gruß,

Küstenkind



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2016-07-13


2016-07-13 18:46 - Kuestenkind in Beitrag No. 13 schreibt:
Darf man das nicht? Sind folgende Grenzwerte also unterschiedlich:
Hi Küstenkind,
sie sind natürlich gleich. Es ist aber Unsinn, den ersten Summanden zweimal hinzuschreiben und den zweiten gar nicht.
Ganz allgemein ist bei der Pünktchenschreibweise Vorsicht angebracht.
Gruß Buri



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2016-07-13


"Ganz allgemein ist bei der Pünktchenschreibweise Vorsicht angebracht."

Ja - das ist mir bewusst, daher die Nachfrage. Danke!

Gruß,

Küstenkind

PS: @yafoo

Falls du noch mal üben möchtest, wäre das ja vielleicht noch was (falls unbekannt):

<math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+4}+...+\frac{n}{n^2+n^2}\right)</math>

<math>\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+...+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}</math>



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yafoo
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Danke Küstenkind für die Übungsaufgaben, die erste hatte ich bereits. Die zweite schaue ich mir nochmal an und poste, falls ich fragen habe ;-)



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