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Zahlentheorie » Primzahlen - sonstiges » Primzahleneigenschaften
Thema eröffnet 2016-08-05 20:02 von
fermare
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Universität/Hochschule Primzahleneigenschaften
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.240, eingetragen 2017-03-21


Nein, so einfach und konst. sind die Verbesserungs-Faktoren nicht!

Kerne/Parallelisierung:
- was man hier sieht sind einfach nur verschiedene Optimierungs-Phasen
(und noch bin ich nicht am Ende der Optimierung)
- nicht jeder Algorithmus lässt sich in 8 ideal gleiche Teil-Rechnungen parallelisieren
(und es gibt auch noch "Sammelpunkte" {WaitForMultipleObjects}, wo man warten muss, bis alle Threads fertig sind)
- nicht jede CPU kann intern 100% parallelisieren. So zeigt Test 3 bei Intel's i7 (4 echte Kerne und per Hyperthreading 8 logische Kerne) bei den beiden selben exe eine Verbesserung um Faktor 4,247 und bei AMD (8 echte Kerne) Faktor 5,315.
(bei Vista 64 Bit war das Hyperthreading noch schlechter)
Außerdem gelingt Multithreading mit externer GMP.DLL natürlich nicht so gut!

Test 4 mit internem 128 Bit MulMod-ASM-Befehl (ohne DLL) schafft es der i7 nach der Parallelisierung auf Faktor 7.

Mit weiteren Optimierungen kommt man zwar etwas höher -> wird aber bei selber CPU nie den Faktor 8 erreichen können!

64 Bit-Technik:
Mit 256 Bit MulMod-ASM könnte Test 2 bestimmt nochmals verbessert werden...
was den Verbesserungsfaktor zur 32-Bit-Version nochmals vergrößern würde.
Allein die Unterschiede der 32-Bit GMP.DLL bei Version 4 und 5 sind gewaltig!
Bei dem GMP-Projekt gibt es so viele Compilerschalter und Optimierungsstufen...
(man könnte für jede CPU eine speziell zugeschnittene Version "basteln").

Ich hätte auch nie gedacht, dass sich 10 Mio. 20stellige Primzahlen, die mit meinen ersten JAVA Programm
über 35 min dauerten, nach zig Optimierungen und AMD-CPU in unter 18 s fertig sind:
Geschwindigkeitsfaktor etwa 120 !!!

Oder die erste GMP-Version (32 Bit 1 Kern) mit         18,77 min -> nach 3 Optimierungen
(64 Bit 8 Kerne) nur noch 1,2 min benötigt: fast 16 mal schneller!

Oder der NextPrime-Befehl von JAVA 64/2,44=26,3 mal schneller gemacht werden kann...



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.241, eingetragen 2017-12-23


2017-02-19 12:23 - hyperG in Beitrag No. 213 schreibt:
...
Output:
Prime(1000000000000000010000000)=58310039994836584663869571 in 3843660 ms =64 min
...

Hätte nie gedacht, dass nach so vielen Optimierungen immer noch was rauszuholen ist:
Mit Version 6 nun nur noch 34,289 s
und mit neuer Hardware nur noch 16,924 s

NextPrime-Benchmark

Bezogen auf die Ausgangssoftware (JAVA ist schon schneller als 80 % der anderen Interpreter-Sprachen) macht das eine
Optimierungsfaktor (Geschwindigkeitssteigerung)
Verbesserung um den  Faktor 112 !!!
Und mit dem i9 sogar Faktor 227 !!!




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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.242, eingetragen 2019-02-10


So, nun habe ich alle 4 Kerne bei mathematica
mit ParallelTable
aktivieren können und tatsächlich nun nur noch 1/4 der Zeit:

NextPrime-Benchmark

Mit neuem PC & neuer mathematica-Version konnten die 82,63 min (im Beitrag 220 noch 537,5 Minuten)
auf 9,61 min verkürzt werden.

Bei 64-Bit-Zahlen ab 13169525310647365859
dauern die 10 Mio. NextPrime nun 5,65 min.

Grobe Schätzung der NextPrime "Schärfe"/Zuverlässigkeiten
99,999999999999? % Mathematica, maple
100-100/2^100 % JAVA (bis heute noch kein Fehlerfall gefunden)
100-100/ 4^50 % Pari/GP
100-100/ 4^50 % GMP/mpz_nextprime
100-700/3825123056546413051 % (ggT(x,102481630431415235)<2)&&(PowMod(2,x-1,x)==1)



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.243, eingetragen 2019-02-11


Hallo hyperG,

nur noch 9,61 Minuten für $10^{7}$mal NextPrime ist wirklich eine sehr gute Zeit. Da sieht man mal, was man mit neuem schnellem PC + Mathematica + Parallelisierung alles rausholen kann.
Bedeutet also unter anderem: richtig eingesetzt können die Parallel-Funktionen echt was bringen.

Bezüglich 64 Bit-Zahlen ist es wie ich sehe auch nochmal eine super Leistungssteigerung. Freut mich!

LG Primentus



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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.244, eingetragen 2019-02-11


Hallo,

Deine Pari/GP Zuverlässigkeit (Baillie-Pomerance-Selfridge-Wagstaff Test) sollte im Grunde die selbe sein wie jene von Maple.

Die 100% die du angibst gelten (natürlich in pari, und ich gehe einfach mal davon aus, auch in maple und mathematica dies bei ihren Tests sicher gestellt haben) für 64-Bit Integer.
Weit darüber hinaus ist dies allerdings meines Wissens in keinen der 3 Programme für die nextprimes Funktionen sichergestellt, es gibt eigene Methoden in allen drei welche eine sichere Überprüfung ermöglichen, falls du dies möchtest smile

--
mfg
matph


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Wir müssen wissen, wir werden wissen. Hilbert
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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.245, eingetragen 2019-02-12


Danke matph,
100 % war zu hoch angesetzt -> habe ich korrigiert.
Die genaue Zahl bei JAVA habe ich auch korrigiert und mit LINK-Quelle versehen.

Die meisten Programme nutzen auch nur die Lib-DLLs...

Solange man keine Fehlerbeispiele analog
Miller-Rabin-Pseudoprimzahlen
hat, sind es eben nur Schätzungen.



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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.246, eingetragen 2019-02-12


Hallo,

Deine Schätzung für pari/gp ist nach wie vor zu gering wink

--
mfg
matph


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.247, eingetragen 2019-02-14


2016-08-05 20:35 - cyrix in Beitrag No. 3 schreibt:
Das hat wenig mit Primzahlen zu tun. Du nutzt nur aus, dass diese (wenn größer als 3) nicht durch 2 oder 3 teilbar sind, denn solche Zahlen önnen trivialerweise nicht als Differenz einer Zweier- und einer Dreierpotenz dargestellt werden.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Doch z.B. ist ja $\displaystyle 5=2^3-3^1$ darstellbar oder ich hab was falsch verstanden..

Man kann evtl "postulieren" dass $3^n \pm 2^m$ signifikant oft auf eine $\pm p$ trifft, oder dass man mit geschickt gewaehlten m und n Paerchen "viele" primes erhaelt, so dass die o.a. Abbildung $M_n \subset \IN \times \IN \mapsto \mathbb S \subset \mathbb P$ existiert und gewisse Eigenschaften hat. Das koennte man sich naeher anschauen..



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