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| Autor |
  Differentialgleichung einer Bandsperre |
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heisenberg_px
Junior 
Dabei seit: 24.07.2016
Mitteilungen: 6
Wohnort: Linz, Österreich
 |  Themenstart: 2016-08-13
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Hallo liebes Forum,
ich habe diese Frage schon einmal gestellt und geglaubt, dass ich eine Lösung gefunden habe, leider war dem nicht so. :-?
Es geht um eine Bandsperre
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/46240_schaltung.png
Ich bin mir nicht sicher ob meine Differentialgleichung zu dieser Schaltung stimmt, da in meiner Lösung (mit Mathematica berechnet) nicht einmal die Einheiten kompatibel sind:
Die Spannung am Eingang ist sinusförmig:
$
u_e(t)=U_q\cdot\sin(\omega\cdot t)
$
Ich gehe wie folgt vor:
1.Knotenpunkt- und Maschengleichung aufstellen:
$
-u_e(t)+u_P(t)+u_R(t)=0\\\\
i_C(t)+i_L(t)-i_R(t)=0
$
2.Strom-Spannungzusammenhang an C und L:
$
i_C(t)=C\cdot\frac{\d u_P(t)}{\d t}\\\\
i_L(t)=\frac{1}{L}\cdot\int u_P(t)\cdot\d t
$
3. In die Knotengleichung einbauen:
$
i_R(t)=C\cdot\frac{\d u_P(t)}{\d t}+\frac{1}{L}\cdot\int u_P(t)\cdot\d t
$
4. $u_P(t)$ anders ausdrücken (Maschengleichung):
$
i_R(t)=C\cdot\frac{\d (u_e(t)-u_R(t))}{\d t}+\frac{1}{L}\cdot\int (u_e(t)-u_R(t))\cdot\d t
$
5. $i_R(t)$ anders ausdrücken (Ohmsches Gesetz):
$
\frac{u_R(t)}{R}=C\cdot\frac{\d (u_e(t)-u_R(t))}{\d t}+\frac{1}{L}\cdot\int (u_e(t)-u_R(t))\cdot\d t
$
6. Einmal links und rechts ableiten, damit das Integral verschwindet:
$
\frac{1}{R}\cdot\frac{\d u_R(t)}{\d t}=C\cdot\frac{\d^2 (u_e(t)-u_R(t))}{\d^2 t}+\frac{1}{L}\cdot(u_e(t)-u_R(t))
$
7. $u_e(t)$ anders ausdrücken (1. Gleichung):
$
\frac{1}{R}\cdot\frac{\d u_R(t)}{\d t}=C\cdot\frac{\d^2 (U_q\cdot\sin(\omega\cdot t)-u_R(t))}{\d^2 t}+\frac{1}{L}\cdot(U_q\cdot\sin(\omega\cdot t)-u_R(t))
$
8. Anfangswertbedingung (vielleicht liegt hier der Fehler):
$
u_R(0)=0V\\\\
u'_R(0)=0\frac{V}{s}
$
Die Lösung die mir Mathematica für $u_R(t)$ liefert lautet (Ihr werdet lachen):
$\frac{R \text{Uq} \left(c L \omega ^2-1\right) \left(R \left(c L \omega ^2-1\right) \sin (t \omega )+L \omega \cos (t \omega )\right)}{R^2 \left(c L \omega ^2-1\right)^2+L^2 \omega ^2}+e^{-\frac{\frac{t \sqrt{L-4 c R^2}}{\sqrt{L}}+t}{2 c R}} \left(c_2 e^{\frac{t \sqrt{L-4 c R^2}}{c \sqrt{L} R}}+c_1\right)$
Sieht nicht wirklich nach der Wirklichkeit aus :-(
Ich bedanke mich schon mal für jede unterstützende Hilfe.
MFG Fabian
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vGvC
Senior 
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
|  Beitrag No.1, eingetragen 2016-08-13
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Warum rechnest Du nicht im Komplexen, wenn es sich doch um sinusförmige Größen handelt? Ist doch viel einfacher.
Und wozu brauchst Du Anfangswerte? Du berechnest doch einen eingeschwungenen Zustand.
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heisenberg_px
Junior
Dabei seit: 24.07.2016
Mitteilungen: 6
Wohnort: Linz, Österreich
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-08-13
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Hallo vGvC,
ich weiß schon, dass es im Komplexen viel einfacher ist, haben wir auch in den Vorlesungen immer so gemacht.
Nur wollte ich mal etwas allgemeiner werden und es über eine DGL versuchen und anschließend mit der Laplacetransformation die Übertragungsfunktion berechnen.
Die Anfangswerte brauch ich nur damit DSolve von Mathematica keine unbestimmten Konstanten ausgibt.
MFG Fabian
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vGvC
Senior
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
| Beitrag No.3, eingetragen 2016-08-13
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\quoteon(2016-08-13 18:29 - heisenberg_px in Beitrag No. 2)
...
Nur wollte ich mal etwas allgemeiner werden und es über eine DGL versuchen und anschließend mit der Laplacetransformation die Übertragungsfunktion berechnen.
\quoteoff
Komplizierter geht's wohl nicht. Sonst würdest Du das auch noch machen, oder? Ich kann das, was Du da machst, jedenfalls nicht nachvollziehen. Vor allen Dingen will ich es nicht.
\quoteon
Die Anfangswerte brauch ich nur damit DSolve von Mathematica keine unbestimmten Konstanten ausgibt.
\quoteoff
Ist auch 'ne Begründung. Aber glaubst Du tatsächlich, dass die Steigung einer Sinusfunktion im Nulldurchgang Null ist?
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