Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Reduktionsverfahren d'Alembert
Autor
Universität/Hochschule Reduktionsverfahren d'Alembert
Polar_regen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.08.2016
Mitteilungen: 768
  Themenstart: 2017-02-09

haii. Sei $I \subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $a_0, a_1: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Dann ist $\varphi_1$ eine Lösung der Dgl: $y''= a_1(t)y' + a_0(t)y$ mit $\varphi_1(t) \neq 0$. Für alle $t \in J$ auf einem offenen Unterintervall $J \subset I$ erhält man eine zweite von $\varphi_1$ unabhängige Lösung $\varphi_2$ durch den Ansatz: $\varphi_2= z(t)\varphi_1(t)$ wobei $w = z'$ Lösung der linearen Dgl $w' = (a_1(t) -2\frac{\varphi'_1(t)}{\varphi_1(t)}) w$ ist. Wie kommt man denn auf das $w' = (a_1(t) -2\frac{\varphi'_1(t)}{\varphi_1(t)}) w$?? Es gilt ja $\varphi'_2= z'\varphi_1 + z \varphi'_1$ und $\varphi''_2= z''\varphi_1+ 2z'\varphi'_1 + z\varphi''_1$ Ich habe schon zig mal versucht, diese Gleichungen umzuformen und dann einzusetzen, aber ich komme da nicht weiter. GlG


   Profil
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11563
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-09

Hallo Polar_regen, Du setzt $\varphi_2''$ aus der korrigierten letzten Gleichung und $\varphi_2'$ in die Differentialgleichung ein. Als nächstes musst Du ausnützen, dass $\varphi_1$ eine Lösung der Differentialgleichung ist. Servus, Roland [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von rlk]


   Profil
Polar_regen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.08.2016
Mitteilungen: 768
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09

Hallo Roland, also ich mache das mal ganz kleinschrittig, bevor ich mich wieder verrenne... Nach dem Einsetzten in die Dgl habe ich $z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(t)(z'\varphi_1 + z \varphi'_1) + a_0(t) y$ Stimmt das erstmal? GlG


   Profil
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11563
Wohnort: Wien
  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-09

Hallo Polar_regen, nicht ganz, was muss statt $y$ stehen? Um Schreibarbeit zu sparen, würde ich auch bei den Funktionen $a_1$ und $a_0$ das Argument $t$ weglassen. Servus, Roland


   Profil
Polar_regen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.08.2016
Mitteilungen: 768
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09

Haii Rolang, anhand deines Tipps würde ich sagen, dass ich $y= \varphi_1$ setzen kann, weil $\varphi_1$ eine Lösung der Dgl $y''= a_1(t)y' + a_0(t)y$ mit $\varphi_1(t) \neq 0$ ist. Also: $z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 \varphi_1$ So dann würde ich das ganze nach z'' umstellen: $z'' = \frac{a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 \varphi_1 -2 z' \varphi'_1 - z \varphi''_1}{\varphi_1} $ Ich erhalte mein gewünschtes Ergenis aber nur, wenn $a_1z \frac{\varphi'_1}{\varphi_1} + a_0 = z\frac{\varphi''_1}{\varphi_1}$ Ist diese aussage gültig und wenn ja, wie erkenne ich diese Gleichheit? GlG


   Profil
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11563
Wohnort: Wien
  Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-09

Hallo polar_regen, nein $y=\varphi_1$ ist falsch. Was hast Du für $y'$ und $y''$ in die Differentialgleichung eingesetzt? Servus, Roland


   Profil
Polar_regen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.08.2016
Mitteilungen: 768
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09

Okayy es muss sein $y= \varphi_2$ und ist ist $\varphi_2= z(t)\varphi_1(t)$ Also insgesamt: $z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 \varphi_2$ = $z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 z\varphi_1$ Jetzt steht aber z.B das $a_0$ immer noch im Weg GlG


   Profil
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11563
Wohnort: Wien
  Beitrag No.7, eingetragen 2017-02-10

Hallo Polar_regen, jetzt kannst Du den Hinweis aus Beitrag 1 anwenden. \quoteon(2017-02-09 13:23 - rlk in Beitrag 1) Als nächstes musst Du ausnützen, dass $\varphi_1$ eine Lösung der Differentialgleichung ist. \quoteoff Dazu stellst Du die Differentialgleichung für $\varphi_1$ so um, dass auf einer Seite der Gleichung Null steht und suchst in Deiner Gleichung nach dem Ausdruck auf der anderen Seite der Differentialgleichung. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


   Profil
Polar_regen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]