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 Reduktionsverfahren d'Alembert |
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Polar_regen
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 |  Themenstart: 2017-02-09
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haii.
Sei $I \subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $a_0, a_1: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Dann ist $\varphi_1$ eine Lösung der Dgl: $y''= a_1(t)y' + a_0(t)y$ mit $\varphi_1(t) \neq 0$.
Für alle $t \in J$ auf einem offenen Unterintervall $J \subset I$ erhält man eine zweite von $\varphi_1$ unabhängige Lösung $\varphi_2$ durch den Ansatz: $\varphi_2= z(t)\varphi_1(t)$ wobei $w = z'$ Lösung der linearen Dgl
$w' = (a_1(t) -2\frac{\varphi'_1(t)}{\varphi_1(t)}) w$ ist.
Wie kommt man denn auf das $w' = (a_1(t) -2\frac{\varphi'_1(t)}{\varphi_1(t)}) w$??
Es gilt ja $\varphi'_2= z'\varphi_1 + z \varphi'_1$ und $\varphi''_2= z''\varphi_1+ 2z'\varphi'_1 + z\varphi''_1$
Ich habe schon zig mal versucht, diese Gleichungen umzuformen und dann einzusetzen, aber ich komme da nicht weiter.
GlG
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-09
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Hallo Polar_regen,
Du setzt $\varphi_2''$ aus der korrigierten letzten Gleichung und $\varphi_2'$ in die Differentialgleichung ein. Als nächstes musst Du ausnützen, dass $\varphi_1$ eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Servus,
Roland
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von rlk]
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Polar_regen
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09
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Hallo Roland, also ich mache das mal ganz kleinschrittig, bevor ich mich wieder verrenne...
Nach dem Einsetzten in die Dgl habe ich
$z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(t)(z'\varphi_1 + z \varphi'_1) + a_0(t) y$
Stimmt das erstmal?
GlG
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-09
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Hallo Polar_regen,
nicht ganz, was muss statt $y$ stehen? Um Schreibarbeit zu sparen, würde ich auch bei den Funktionen $a_1$ und $a_0$ das Argument $t$ weglassen.
Servus,
Roland
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Polar_regen
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09
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Haii Rolang,
anhand deines Tipps würde ich sagen, dass ich $y= \varphi_1$ setzen kann, weil $\varphi_1$ eine Lösung der Dgl $y''= a_1(t)y' + a_0(t)y$ mit $\varphi_1(t) \neq 0$ ist.
Also: $z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 \varphi_1$
So dann würde ich das ganze nach z'' umstellen:
$z'' = \frac{a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 \varphi_1 -2 z' \varphi'_1 - z \varphi''_1}{\varphi_1} $
Ich erhalte mein gewünschtes Ergenis aber nur, wenn
$a_1z \frac{\varphi'_1}{\varphi_1} + a_0 = z\frac{\varphi''_1}{\varphi_1}$
Ist diese aussage gültig und wenn ja, wie erkenne ich diese Gleichheit?
GlG
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rlk
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-09
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Hallo polar_regen,
nein $y=\varphi_1$ ist falsch. Was hast Du für $y'$ und $y''$ in die Differentialgleichung eingesetzt?
Servus,
Roland
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Polar_regen
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09
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Okayy es muss sein $y= \varphi_2$
und ist ist $\varphi_2= z(t)\varphi_1(t)$
Also insgesamt:
$z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 \varphi_2$
=
$z''\varphi_1 + 2 z' \varphi'_1 + z \varphi''_1= a_1(z'\varphi_1 + z \varphi_1') + a_0 z\varphi_1$
Jetzt steht aber z.B das $a_0$ immer noch im Weg
GlG
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rlk
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-02-10
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Hallo Polar_regen,
jetzt kannst Du den Hinweis aus Beitrag 1 anwenden.
\quoteon(2017-02-09 13:23 - rlk in Beitrag 1)
Als nächstes musst Du ausnützen, dass $\varphi_1$ eine Lösung der Differentialgleichung ist.
\quoteoff
Dazu stellst Du die Differentialgleichung für $\varphi_1$ so um, dass auf einer Seite der Gleichung Null steht und suchst in Deiner Gleichung nach dem Ausdruck auf der anderen Seite der Differentialgleichung.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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