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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Grenzfunktion einer Funktionenreihe
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Universität/Hochschule J Grenzfunktion einer Funktionenreihe
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  Themenstart: 2017-04-01

Wunderschönen guten Tag allerseits! Bei der Bestimmung einer Grenzfunktion von einer Funktionenreihe f_n weiß ich nicht, wie ich auf die Lösung komme. $ $Sei\;also\;f_n = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+x^2}$ eine\;Funktionenreihe. $ Ich versuche die Grenzfunktion erstmal für einzelne f_n zu bestimmen, mit festem x und unterschiedlichen Fällen (für n gegen unendlich). Bei mir kommt da heraus, dass die Grenzfunktion f(x) = 0 ist. Nun bin ich allerdings recht ratlos, da ich nicht wirklich weiß, wie man die Grenzfunktion einer Summe bestimmt, und ein Ansatz fällt mir nicht wirklich ein ... Würde mich über eine Antwort sehr freuen, Gruß Mfreak


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-01

Hallo Mileniumfreak, irgendwas stimmt an deiner Definition nocht nicht. Einerseits schreibst du $f_n$ hin, was eine Funktionenfolge mit dem Folgenindex n suggeriert. Andererseits hast du eine Reihe, in der n nicht frei, sondern als Summationsindex vorkommt. Kann es sein, dass du eigentlich die Funktionenfolge $f_n(x)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n^2+x^2}$ meinst und die von dir angegebene Reihe der Grenzwert dieser Folge sein soll, den du jetzt untersuchst. \quoteon(2017-04-01 13:39 - Mileniumfreak im Themenstart) Ich versuche die Grenzfunktion erstmal für einzelne f_n zu bestimmen, mit festem x und unterschiedlichen Fällen (für n gegen unendlich). Bei mir kommt da heraus, dass die Grenzfunktion f(x) = 0 ist. Nun bin ich allerdings recht ratlos, da ich nicht wirklich weiß, wie man die Grenzfunktion einer Summe bestimmt, und ein Ansatz fällt mir nicht wirklich ein ... \quoteoff Das verstehe ich leider nicht. Auf jeden Fall ist die Reihe nicht die Nullfunktion, denn für $x=0$ liefert sie $\frac{\pi^2}{6}$. lg Wladimir


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-01

Hi Wladimir Hm ... bin mir nicht ganz sicher, an und für sich ist schon eine Summe von n = 1 bis unendlich gegeben. Bei der von dir vorgeschlagenen Reihe fehlt doch das unendlich, oder nicht ? Denn i = 1 bis n ist doch nie unendlich. Zum 2. Punkt: Das die Reihe als Grenzfunktion nicht die Nullfunktion hat, ist mir schon klar, ich wollte nur mal grundlegend sehen, wie sich die Funktion ohne die Summe verhalten würde (Mir wird gerade klar, dass das jedoch 1. nicht weiterhilft und 2. recht trivial ist). Meine Frage allgemein lautet dann: Wie bestimme ich die Grenzfunktion einer Reihe ? Da ich die glm. Konvergenz zeigen soll, brauch ich natürlich erst die Grenzfunktion. Gruß Mfreak


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Euler2
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-01

Hallo Mileniumfreak, Du braucht die Grenzfunktion nicht. Ich würde es eher mit dem Weierstaßschen Majorantenkriterium versuchen.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-01

Hi Euler, Weierstraßschen Majorantenkriterium ... ? Ich kenn nur das Majorantenkriterium / Weierstrass M - Test. Ist das das selbe ? Gruß Mfreak


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Euler2
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  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-01

Hallo Mileniumfreak, Ja das meint beides das gleiche.


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trunx
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  Beitrag No.6, eingetragen 2017-04-02

wenn man davon ausgeht, dass f(x) also die summation bis unendlich gemeint ist, dann lässt sich diese funktion explizit und relativ elementar darstellen. hinweis: entwickle jeden summanden in eine geometrischen reihe und fasse die neuen summanden geeignet zsm (zetafunktion).


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wladimir_1989
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  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-02

Hallo, \quoteon(2017-04-01 17:41 - Mileniumfreak in Beitrag No. 2) Meine Frage allgemein lautet dann: Wie bestimme ich die Grenzfunktion einer Reihe ? Da ich die glm. Konvergenz zeigen soll, brauch ich natürlich erst die Grenzfunktion. Gruß Mfreak \quoteoff ich fürchte immer noch, dass hier ein Missverständnis vorliegt. Der Begriff "Grenzfunktion einer Reihe" macht für mich wenig Sinn, denn eine Reihe ist bereits per Definition ein Grenzwert, nämlich der Grenzwert der Folge der Partialsummen. Der Begriff "Grenzfunktion" bezeichnet normalerweise den Grenzwert einer Funktionenfolge, also einer Kollektion von Funktionen, die von einem freien Index n abhängen. Beipiel: $f_n(x)=x^n$ Zu jedem n gibt es also eine Funktion. Betrachtet man die Funktionen auf dem Intervall $[0,1]$, so existiert auch der Grenzwert für $n\rightarrow \infty$. Diese Grenzfunktion ist 0 für $x\neq 1$ and 1 für $x=1$. Insbesondere ist sie damit nicht stetig, obwohl alle Folenglieder $x^n$ stetig sind. In unserem Fall wäre die Funktionenfolge $f_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i^2+x^2}$. Beachte, dass diese Summe endlich ist und explizit von n abhängt. Deine Reihe $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+x^2}$ ist dann der Grenzwert dieser Funktionenfolge für $n\rightarrow \infty$. Beachte, dass der Index n hier nicht mehr frei vorkommt. Die Reihe existiert für alle x, da man sie immer durch die Reihe $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ abschätzen kann. Tatsächlich konvergiert sie sogar gleichmässig mit demselben Argument. Im Ünrigen gilt, dass Grenzerte göeichmässig konvergenter Folgen stetiger oder differenzierbarer Funktionen stetig oder differenzierbar sind. Deine Reihe ist also sowohl stetig als auch differenzierbar. lg Wladimir [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-02

Ah, also zeige ich praktisch nur, dass $ \frac{1}{n^2} $ konvergiert ? Dann hätte ich schließlich die Bedingungen für das Weierstraßkriterium. Gruß Mfreak $ $Edit: \; \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$\;meine\;ich\;natürlich.$


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wladimir_1989
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  Beitrag No.9, eingetragen 2017-04-02

Hallo, die Konvergenz von $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ sollte bekannt sein. Wir beweisen sie nicht, sondern verwenden, um zu zeigen, dass auch $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+x^2}$ für alle x konvergiert, weil man $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+x^2}$ durch $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ abschätzen kann. Dasselbe Argument kannst du auch benutzen, um die gleichmässige Konvergenz zu zeigen. Ist dir klar, wie? lg Wladimir


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-02

Ja, ist mir klar. Benutze einfach das Weierstraßkriterium, daraus folgt unmittelbar die gleichmäßige Konvergenz.


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trunx
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  Beitrag No.11, eingetragen 2017-04-02

nachdem nun die konvergenzfragen geklärt sind, wie sieht denn nun die grenzfunktion aus?


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-03

Hm ... weiß ich ehrlich gesagt nicht - soll man die vlt als eine Folge der partialsummen konstruieren ?


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trunx
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  Beitrag No.13, eingetragen 2017-04-03

als folge von partialsummen ist sie ja bereits gegeben. wie du vorgehen musst, hatte ich in #6 geschrieben.


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trunx
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  Beitrag No.14, eingetragen 2017-04-05

na, ich löse mal auf: zu berechnen ist ja $f(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+x^2}$. nun wäre der summand $\frac{1}{n^2+x^2}$ in eine geometrische reihe umzuwandeln, nämlich in $\frac{1}{n^2+x^2}=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{1+(\frac{x}{n})^2}=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^m (\frac{x}{n})^{2m}$. dies setzen wir in $f(x)$ ein und vertauschen die summationsreihenfolge $f(x)= \sum \limits_{m=0}^{\infty} (-1)^m x^{2m} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2m+2}}$. die letzte summe ist dabei gerade die zeta-funktion mit gradzahligen argumenten, für die es geschlossene ausdrücke gibt $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2m+2}}=\zeta(2m+2)=(-1)^m{\frac{(2\pi )^{{2m+2}}\ B_{{2m+2}}}{2(2m+2)!}}$, wobei die $B_i$ bernoulii-zahlen sind. Auch das setzen wir wieder ein und erhalten $f(x)= \sum \limits_{m=0}^{\infty} x^{2m}\frac{(2\pi )^{{2m+2}}\ B_{{2m+2}}}{2(2m+2)!}=\frac{1}{2x^2}\sum \limits_{m=0}^{\infty} \frac{(2\pi x)^{{2m+2}}\ B_{{2m+2}}}{(2m+2)!}$ jetzt noch ein index-shift; zugleich nutzen wir aus, dass fast alle ungeraden bernoulli-zahlen (ausser $B_1$) gleich null sind, addieren also diese nullen dazu $f(x)=\frac{1}{2x^2}\sum \limits_{m=2}^{\infty} \frac{(2\pi x)^m\ B_m}{m!}$. im letzten schritt füllen wir die reihe wieder von $m=0$ an auf und benutzen die definition der bernoulli-zahlen $\frac {q}{e^{q}-1}=\sum _{m=0}^{\infty }B_m \frac {q^m}{m!}$. $\displaystyle f(x)= \frac{1}{2x^2} (\frac {2\pi x}{e^{2\pi x}-1}-1+\pi x)$. bye trunx


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Wauzi
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  Beitrag No.15, eingetragen 2017-04-07

Eine sehr schöne Herleitung. Allerdings sollte man hinzufügen, daß es so nur für |x|<1 geht, da n=1 zugelassen ist. Gruß Wauzi


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trunx
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  Beitrag No.16, eingetragen 2017-04-07

@wauzi: das ist wohl wahr. hast du eine idee für einen anderen weg, bei dem auch größere x möglich sind?


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Wauzi
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  Beitrag No.17, eingetragen 2017-04-07

Ich bin mir gar nicht sicher, ob das für größere x so geht, da hier die Reihe im Komplexen nicht mehr konvergiert. Evtl kommt man mit dem Identitätssatz weiter und beweist damit Deinen Grenzwert


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Wauzi
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  Beitrag No.18, eingetragen 2017-04-07

Ich versuche einen Beweis: Sei M:={z\el\ \IC:z=+-i*n; n\el\ \N} und f_N : \IC\\M->\IC mit f_N(z):=sum(1/(n^2+z^2),n=1,N) Dann ist die (auf \IC meromorphe) Funktion f_N holomorph. Die Folge f_N ist kompakt konvergent. \(Erscheint mir u.a. wegen der endlichen Zahl der Polstellen offensichtlich, aber umständlich beweisbar) Dann ist in \IC\\M die Grenzfunktion f(z)=sum(1/(n^2+z^2),n=1,\inf ) holomorph. Für abs(z)<1 ist diese Reihe gleich 1/2z^2*((2*\pi*z)/(exp(2*\pi*z)-1)-1+\pi/2*z) wobei dieder Ausdruck nach 0 holomorph fortsetzbar ist. Da diese Funktion auf \IC\\M definiert ist, ist nach dem Identitätssatz dies auch der Wert der Reihe


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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-07

Hi, zunächst einmal finde ich die Herleitung von trunx auch sehr elegant. Frage mich allerdings, ob der Teil mit der erzeugenden Funktion der Bernoullizahlen so denn vollständig ist, bzw. ob man die erzeugende Funktion einfach so als "Wert" der Reihe übernehmen kann. Zunächst ist doch die Frage ob $g(q)=\frac{q}{e^q-1}$ überhaupt analytisch ist. Falls ja, könnte man g lokal durch die Potenzreihe mit den Bernoullizahlen darstellen, da das ja genau die Taylorreihe von g um den Entwicklungspunkt 0 ist. Und bliebe dann nicht noch die Frage wie der Konvergenzradius überhaupt aussieht, so dass man Angaben darüber machen kann auf welchen Intervallen man die Reihe durch die erzeugende Funktion ersetzen kann? Gruß np_complete


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-07

Ich habe mal unter dem deutschen Wikipediaeintrag zu den Bernoullizahlen geschaut. Da steht dass $\frac{q}{e^q-1}=\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{q^m}{m!}$ für $\left|q\right|<2\pi$


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Wauzi
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  Beitrag No.21, eingetragen 2017-04-07

Genau um diese Frage ging es bei den letzen Beiträgen, für |z|<1 ist die Holomorphie offensichtlich


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Wauzi
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  Beitrag No.22, eingetragen 2017-04-08

Beweisnachtrag zur kompakten Konvergenz: Sei A\subset\ M kompakt. => 1) \exists\ ein nur von der Wahl von A abhängiges K>0 mit abs(z)<=K \forall\ z\el\ A 2) Da es in A nur endlich viele Löcher um i*n gibt, existiert ein nur von der Wahl von A abhängiges \delta>0: abs(z+-in)>\delta für alle z\el\ K und alle n\el\ \IN 1) sei n<=2*K =>abs(n^2+z^2)=abs(z+in)*abs(z-in)>\delta^2 2)Sei n>2*K =>abs(n^2+z^2)>=n^2-abs(z^2)>=n^2-K^2=(n-K)*(n+K)>=1/2*n^2 =>sum(1/abs(n^2+z^2),n=1,\inf )<=2K/\delta^2+1/2*sum(1/n^2,n=1,\inf ) Hieraus folgt aus dem Majorantenkriterium Konvergenz und weil diese nicht von z abhängt, die glm Konvergenz und hieraus die kompakte Konvergenz.


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trunx
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  Beitrag No.23, eingetragen 2017-04-08

@wauzi: das sieht doch sehr gut aus.


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