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  Ableitung der geometrisch Brownschen Bewegung nach der Zeit |
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eikem
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.11.2007
Mitteilungen: 179
 |  Themenstart: 2017-04-05
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Hallo zusammen,
ich betrachte eine geometrisch Brownsche Bewegung, die der folgenden Dynamik folgt:
dS=\mu S dt + \sigma S dW.
W ist hierbei ein Wiener Prozess.
Nun will ich eine stochastische Differenzialgleichung für ln(S) angeben. Dazu verwende ich das Lemma von Ito:
d ln(S) = (d ln(S))/(dt) dt + (d ln(S))/(dt) dS + 1/2 (d^2 ln(S))/(dS^2) dS^2.
(d ln(S))/(dt) = 1/S und (d^2 ln(S))/(dS^2) = -1/S^2 ist mir klar.
Nun gilt nach jedem Lehrbuch, auf das ich gestoßen bin: (d ln(S))/(dt) = 0, was ich nicht verstehe.
Ich kann ja schreiben: (d ln(S))/(dt) = (dS)/(dt) 1/S, was heißt, dass (dS)/(dt)=0 sein muss. Doch warum ist das so? Eigentlich müsste doch hier die Drift beachtet werden, oder? Es wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet. Vielleicht habe ich auch gerade nur einen Denkfehler.
VG eikem
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3752
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-03
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Huhu eikem,
die Frage ist zwar schon etwas älter, aber schaden wird eine Antwort ja nicht.
Deine Anwendung der Ito-Formel leuchtet mir nicht ganz ein. Deshalb will ich hier einfach mal die SDGL (1) $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$ exemplarisch lösen:
Für einen Ito-Prozess $dX_t=adt+bdW_t$ und $g \in C^2(\mathbb{R})$ ist $Y_t=g(X_t)$ wieder ein Ito-Prozess und es gilt $dY_t = \frac{dg}{dx}(X_t)dX_t + \frac{1}{2} \frac{d^2g}{dx^2}(X_t) (dX_t)^2$ mit den üblichen Konventionen bzgl. der Produkte von Differentialen.
Dies ist die einfachste Form der Ito-Formel und wir wollen sie auf $g(x)=\mathrm{log}(x)$ für $x>0$ anwenden. Damit folgt:
$d(\mathrm{log} S_t)=\frac{1}{S_t} dS_t - \frac{1}{2 S_t} (dS_t)^2 = \frac{dS_t}{S_t} - \frac{S_t^2}{2 S_t^2} \sigma^2 dt$ bzw. $\frac{dS_t}{S_t} = d(\mathrm{log} S_t) + \frac{\sigma^2}{2} dt$.
Integration über $[0;t]$ ergibt dann als Lösung von (1):
$\mu t + \sigma W_t = \mathrm{log} \frac{S_t}{S_0} + \frac{\sigma^2}{2} t$ bzw. $\mathrm{log} \frac{S_t}{S_0} = (\mu - \frac{\sigma^2}{2}) t + \sigma W_t$ und somit
$S_t = S_0 \mathrm{exp} [ (\mu - \frac{\sigma^2}{2}) t + \sigma W_t]$.
lg, AK.
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eikem
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.11.2007
Mitteilungen: 179
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-05
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Super, vielen lieben Dank!!!
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eikem hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
eikem hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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