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Kombinatorik & Graphentheorie » Inklusion-Exklusion » Inklusion-Exklusion again
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Universität/Hochschule Inklusion-Exklusion again
matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-23


Hallo allerseits,

habe wieder einmal eine Frage zum Inklusions-Exklusions-Prinzip.

Wie viele natürliche Zahlen 1 <= n < 10000 gibt es, in deren Dezimalentwicklung keine zwei ungeraden Ziffern nebeneinander stehen.

Insgesamt gibt es 9999 Zahlen, von denen muss ich jetzt die ungewünschten Zahlen abziehen.

1234 wäre eine gewünschte Zahl, 1233 nicht.

Leider fehlt mir hier komplett der Ansatz..

LG



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matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23


Bei Zahlen der Länge 1 gibt es keine solche Fälle,

Bei Zahlen der Länge 2, also Zahlen der Form ZE gibt es dann 5*5 = 25 Fälle, die zu streichen sind.

Bei Zahlen der Form HZE bzw. THZE wird es dann schon schwerer und die Durchschnittsbildung leuchtet mir hier auch nicht ganz ein leider..



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dbrust_2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-23


Hi

Ich würde so anfangen:

Betrachte die Zahlen 0000,0001,0002,...9997,9998,9999. Das sind 10000 Zahlen.
Eine Ziffer kann gerade oder ungerade sein, also betrachte die 16 Möglichkeiten bzw. Klassen gggg, gggu, ggug,...,uuuu. Jede Klasse hat 625 Elemente. Wieviele Klassen besitzen nun zwei 'u' nebeinander?



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matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23


ja damit lässt dich das Beispiel lösen, das ist allerdings anders wenn es in andere Dimensionen geht, sprich nicht von 0000 bis 9999 sondern zb 000000 bis 999999.

Gibt es da keine alternative Variante vielleicht? ich hätte bis jetzt keine gefunden..



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matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


hat jemand eine alternative?



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MartinN
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-24


Das kann man bestimmt verallgemeinern ^^

Sei die Zahl einstellig, so kann sie gerade (g) oder ungerade (u) sein.
Somit gibt es den Anteil an Zahlen die auf g enden: <math>G_1 = 1</math>.
Somit gibt es den Anteil an Zahlen die auf u enden: <math>U_1 = 1</math>.

Insgesamt gibt es so viele erlaubte, einstellige Zahlen: <math>Z_1 = G_1 + U_1</math>


Wird nun eine weiter Stelle angehängt, so darf jedem letzten g ein g oder ein u folgen, jedem letzten u aber nur ein g (sonst hätte man ein "uu"):
<math>G_{k+1} = G_k + U_k\\
U_{k+1} = G_k\\
Z_{k+1} = G_{k+1} + U_{k+1}</math>

Damit erhält man alle möglichen Sequenzen mit k Stellen aus den Buchstaben u und g, die kein "uu" enthalten. Alle möglichen Sequenzen wären <math>2^k</math>.
Das Verhältnis ist dann der Anteil der Zahlen, die nicht zwei, benachbarte ungerade Ziffern zwischen 1 und <math>10^k-1</math> besitzen.

Diese Rekursion kann man bestimmt auch noch in eine explizite Formel für Z_k umwandeln. [das überlasse ich dem interessierten Leser, aber scheint nicht schwer :D]



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matosch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


Vielen Dank für deine Antwort.

wie kommst du auf G1 = 1 und U1 = 1?



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1060
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-24


Wenn man nur eine Stelle (k = 1) hat [also 0 bis 9], dann kann diese zu gleichen Teilen gerade oder ungerade sein: u oder g (1:1).
Demnach endet das "Wort" mit einer Stelle zu <math>G_k = 1</math> auf g und zu <math>U_k = 1</math> auf u, bei <math>2^k = 2</math> Fällen.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-17


Habe ich die Vorgangsweise richtig verstanden?:

Sei A die Menge aller Zahlen zwischen 0 und 9999 --> |A| = 10000
Sei B die Menge aller Zahlen in A, bei denen die ersten beiden Ziffern ungerade sind --> |B| = 5*5*10*10 = 2500
Sei C die Menge aller Zahlen in A, bei denen die mittleren beiden Ziffern ungerade sind --> |C| = 2500
Sei D die Menge aller Zahlen in A, bei denen die letzten beiden Ziffern ungerade sind --> |D| = 2500
|\(C \cap D\)| = |\(B \cap C\)| = 1250
|\(B \cap D\)| = 5*5*5*5 = 625 = |\(B \cap C \cap D\)|

somit ergibt sich für die "guten" Zahlen:
Anz. = |A| - |B| - |C| - |D| + |B \(\cap\) D| + |B \(\cap\) C| + |C \(\cap\) D| - |C \(\cap\) D \(\cap\) B| = 5000

Stimmt das? Wenn ja, wundert mich allerdings, dass man nicht die zweistelligen und dreistelligen Zahlen extra behandeln muss, weil die Mengen B, C, D behandeln ja irgendwie nur vierstellige Zahlen?



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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-19 14:35


Wäre es gescheiter, ich mache eine neue Frage auf, um das zu klären, weil der Thread schon so alt ist?



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