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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » schwache Ableitungen: Konvergenz von Funktionenfolgen
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Universität/Hochschule schwache Ableitungen: Konvergenz von Funktionenfolgen
mathe4ever
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  Themenstart: 2017-04-28

Guten Morgen, ich möchte Folgendes zeigen: Es sei $(u_n)_{n\in \mathbb{N}} \subset L^1(a,b)$ eine Funktionenfolge, die gegen ein $u \in L^1(a,b)$ bezüglich der $L^1(a,b)$-Norm konvergiere. Weiter sei $(u'_n)_{n\in \mathbb{N}} \subset L^1(a,b)$ die Folge der schwachen Ableitungen von $(u_n)$, die gegen ein $v \in L^1(a,b)$ bezüglich der $L^1(a,b)$-Norm konvergiere. Dann existiert die schwache Ableitung von $u$ und sie ist $v$. Ich habe also als Vorraussetzungen: $\int_a^b |u_n(x)-u(x)|dx \to \infty, n\to\infty$, $\int_a^b |u'_n(x)-v(x)|dx \to \infty, n\to\infty$, $\int_a^b u'_n(x)\varphi (x)dx = -\int_a^b u_n(x)\varphi '(x)dx $ $$ $$ $\forall \varphi \in C_c^{\infty}(a,b)$ Und möchte zeigen, dass gilt: $\int_a^b v(x)\varphi (x)dx = -\int_a^b u(x)\varphi '(x)dx$ $$ $$ $\forall \varphi \in C_c^{\infty}(a,b)$ Ich verstehe aber noch nicht so ganz, wie ich die Vorraussetzungen zusammenbringen kann. Mich stören zum Beispiel die Betragsstriche in den beiden Konvergenz-Vorraussetzungen. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich da anfangen muss? LG m4e


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mathe4ever
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-28

Ich habe mir jetzt Folgendes überlegt: Es ist für beliebige $\varphi \in C_c^{\infty}(a,b)$: $ -\int_a^b |u(x)\varphi '(x)|dx = -||u\varphi '||_{L^1} \newline \leq - \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||u_n\varphi '||_{L^1} - ||(u_n-u)\varphi '||_{L^1}} \newline \leq - \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||u_n\varphi '||_{L^1} - ||(u_n-u)||_{L^1}||\varphi '||_{L^1}} \newline = - \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||u_n\varphi '||_{L^1}} \newline = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||u'_n\varphi ||_{L^1}} \newline \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||v\varphi ||_{L^1} - ||(u'_n-v) \varphi ||_{L^1}} \newline \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||v\varphi ||_{L^1} - ||(u'_n-v)||_{L^1}||\varphi ||_{L^1}} \newline = ||v\varphi ||_{L^1}$ und analog: $\int_a^b v(x)\varphi (x)dx \leq ||v\varphi ||_{L^1} \leq -||u\varphi '||_{L^1} \leq -\int_a^b u(x)\varphi '(x)dx$ Ich hoffe mal, das stimmt so alles mit den Normen. Und kann man den Schritt $- \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||u_n\varphi '||_{L^1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{||u'_n\varphi ||_{L^1}}$ machen? Nur jetzt habe ich ja als Ergebnis nur $\int_a^b |u(x)\varphi '(x)|dx = \int_a^b |v(x)\varphi (x)|dx$ und $\int_a^b v(x)\varphi (x)dx \leq \int_a^b u(x)\varphi '(x)dx$ Wie kann ich denn noch die Betragsstriche bzw. das "≤"-Zeichen entfernen? Oder habe ich das komplett falsch gemacht? LG m4e


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mathe4ever
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-28

Ok, ich habe gerade selbst gemerkt, dass das Quatsch war. Die Kleiner-gleich-Zeichen stimmen teilweise gar nicht, wegen des Vorzeichens...


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schlunz
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-16

$\int_a^b v(x)\varphi(x)+u(x)\varphi'(x)dx =\int_a^b v(x)\varphi(x)-u_n'(x)\varphi(x)+u_n'(x)\varphi(x)+u(x)\varphi'(x)dx $, Das kannst du ein bisschen umformen und gegen einen term abschätzen, der gegen 0 geht.


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