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Universität/Hochschule J Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktion, Sigma-Algebra
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-02


Hi,
es geht um folgende Aufgabe:
Seien <math>(E_i,d_i)</math> metrische Räume für i=1,2 und <math>f: \ E_1 \to E_2</math>. Ferner sei D die Menge der Unstetigkeitsstellen von f. Zeige, dass <math>D \in \mathbb{B}(E_1)</math>.

Hinweis: Betrachte für <math>\epsilon, \delta > 0</math> die Mengen
<math>U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}:=\{x \in E_1 \ | \ (\exists y,z \in B_{\delta}(x):  d_2(f(y),f(z)) \ge \epsilon) \}</math>.


Ich habe versucht einen Zusammenhang zwischen dem <math>\epsilon - \delta</math>-Kriterium für Stetigkeit und den Mengen <math>U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}</math> zu finden. Die Menge D kann ich schreiben als:
<math>D:=\{x \in E_1 \ | \ \exists \epsilon_x > 0 \ \forall \delta >0 \ \exists y \in E_1: \ d_1(x,y)<\delta \ \Rightarrow \ d_2(f(x),f(y))<\epsilon\}</math>
Die Menge D liegt ja auf jeden Fall schon mal in <math>U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}</math> drin, da, wenn wir das z in <math>U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}</math> durch x ersetzen, wir sozusagen "D erhalten".

Nun mal zum Verständnis: Ich soll zeigen, dass <math>D \in \mathbb{B}(E_1)=\sigma (O)</math> ist, wobei O die offenen Mengen von <math>E_1</math> sind. D.h. ich muss D wie folgt darstellen können:
<math>D=\cup \limits_{i=1}^{\infty} O_i"</math> mit <math>O_i"=\{O_i, O_i^C\}</math>, wobei <math>O_i^C</math> das Komplement von <math>O_i</math> bezeichnet. Stimmt das soweit?

Ich könnte nun zeige, dass <math>U \limits_{f}^{\epsilon, \delta} \in \mathbb{B}(E_1)</math> gilt. Da <math>D \subset U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}</math> gilt, hätte ich die Aussage bewiesen. Das könnte ich zeigen indem ich eine Menge in <math>\mathbb{B}(E_2)</math> finde deren Urbild <math> U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}</math> ist, da somit <math>  U \limits_{f}^{\epsilon, \delta}</math> in der Ursprung-Sigma-Algebra liegen würde. Oder bin ich damit auf dem falschen Weg?


Liebe Grüße, Bruce



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Bruce94 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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