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Universität/Hochschule J Mächtigkeit von Sigma-Algebren
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-03


Hi,
ich soll zeigen, dass die Mächtigkeit einer Sigma-Algebra A entweder endlich oder überabzählbar unendlich ist und dabei wie folgt vorgehen:
a) Nehme an, dass A nicht endlich ist und wähle eine Folge <math>A_1,  A_2,...</math> paarweise verschiedener Mengen aus A. Zeige dann, dass
<math>G=\{\cap \limits_{n \in \mathbb{N}} A^*_n \in \{A_n, A_n^C\}\}</math>
nicht endlich ist und aus paarweise verschiedenen Mengen besteht.
b) Wähle ein geeignete Folge <math>G_1, \ G_2,... \in G</math> und setze
<math>G^*=\{\cap \limits_{G \subset M} G: \ M \subset \{G_1, \ G_2,...\}\}</math>.
Konstruieren sie nun eine Injektion <math>f: \ \{0,1\}^{\mathbb{N}} \to G^*</math>.


Idee:
Ich könnte zunächst beliebige Elemente <math>B_1, \ B_2,... \in A</math> betrachten. Dann definiere ich mir die disjunkten Mengen <math>A_i=B_i \backslash A_{i-1}</math>, wobei ich die leere Menge nur einmal mitnehme und ansonsten überspringe.

Nun kann ich ja 3 Fälle unterscheiden:
1.) <math>A_i^*=A_i^C</math> für alle <math>i \in \mathbb{N}</math>. Hier erhalte ich als Element in G entweder die leere Menge (falls die Vereinigung der <math>A_i</math> die Sigma-Algebra A abdeckt) oder die ich nenne sie mal Komplementenmenge, d.h. die Sigma Algebra ohne die Vereinigung der <math>A_i</math>.
2.) Es existiert ein i mit <math>A_i^*=A_i</math>. Hier ist das Element aus G das <math>A_i</math> selbst.
3.) Es existieren i,j (oder mehr) mit <math>A_i^*=A_i</math> und <math>A_j^*=A_j.</math>. Ich erhalte die leere Menge.

Und natürlich enthält G nun unendlich viele disunkte Teilmengen. Kommt mir aber zu einfach vor.

b) Sei <math>G_i=A_i</math> und f bildet wie folgt ab:
Ist der i-te Eintrag von einem Element aus <math>\{0,1\}^{\mathbb{N}}</math> gleich 0, so kommt <math>G_i</math> nicht in der Menge M vor über die wir die Vereinigung betrachtet haben zu dem entsprechenden Element aus <math>G^*</math>. Ist der i-te Eintrag gleich 1, so kommt er vor.
Beispiel: <math>{0,1,1,0,1,0,...} \to \cap \limits_{G \in M}</math> mit <math>M={G_2,G_3,G_4}</math>

Nun weiß ich aber nicht was ich damit anfangen soll. Die Elemente aus <math>G^*</math> sind auch Elemente von A. Allerdings ist <math>\{0,1\}^{\mathbb{N}}</math> abzählbar unendlich. Wenn ich eine überabzählbare Menge gehabt hätte, hätte ich ja daraus schließen können, dass auch <math>G^*</math> überabzählbar ist. Und da <math>G^* \subset A</math>, wäre ich fertig.


Jemand eine Idee?

Liebe Grüße, Bruce



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Bruce94 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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