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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Holomorphe Funktionen als Lösung einer Differentialgleichung
Autor
Universität/Hochschule Holomorphe Funktionen als Lösung einer Differentialgleichung
mathefisch90
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.11.2015
Mitteilungen: 51
  Themenstart: 2017-05-07

Guten Tag! Wir haben folgende Zusatzaufgabe in Funktionentheorie bekommen und in der Vorlesung überhaupt nichts zu Differentialgleichungen gemacht. Auch habe ich die Vorlesung gewöhnliche Differentialgleichungen noch nicht gehört. Aufgabe: Zeigen Sie, dass es genau ein Paar von holomorphen Funktionen f,g gibt, so dass: f'(z)=g(z), g'(z)=f(z) für alle komplexen Zahlen z, sowie: f(0)=1, g(0)=1. Unter der Verwendung von cos(z)=cos(-z) konnte man leicht nachrechnen, dass Sinus und Cosinus die Bedingungen erfüllen. Meine Frage ist aber nun, wie kann man die Eindeutigkeit einsehen? Hat jemand einen Tipp? Danke schonmal.

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Gestath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-07

Hallo, Cosinus und Sinus erfüllt die Bedingungen nicht. Das erste woran ich hier denken würde, wäre Potenzreihenentwicklung. MfG Gestath

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mathefisch90
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.11.2015
Mitteilungen: 51
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-07

Du hast Recht, ich habe mich verrechnet. Dann überleg ich weiter. Allerdings haben wir auch nichts mit Potenzreihen gemacht, dass in Verbindung zu holomorphen Funktionen steht.

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Gestath
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Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-07

Dann schau dir mal f+g und f-g an.

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