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Analysis » Maßtheorie » Nachweisen einer Sigma-Algebra
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Universität/Hochschule Nachweisen einer Sigma-Algebra
Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-18


Hallo,
Ich habe folgendes Problem:
Sei <math>M\subset\mathbb{R}^{n+k}</math> eine n-dimensionale <math>\mathbb{C}^1</math>-Untermannigfaltigkeit. <math>B\subsetM</math> heißt messbar, falls <math>\phi(B\capU)\subset\mathbb{L}^n</math>-messbar für alle lokalen Karten <math>\phi:U->V</math> von <math>M</math> ist. Zeigen Sie: Das System <math>\mathbb{M}</math> aller messbaren Teilmengen von <math>M</math> ist eine <math>\sigma</math>-Algebra und enthält alle Borelmengen.

Meine Fragen hierzu sind:
Woher weiß man, welche B bzw. <math>\phi(B \cap U)</math> messbar sind?
Was sind hier die Borelmengen?

Kann mir bitte jemand einen Hinweiß geben, wie man an diese Aufgabe herangeht?

Gruß Tobi



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18


Bisher habe Ich zeigen können, dass <math>\mathbb{M}</math> eine <math>\sigma-Algebra</math> ist. Jedoch werde Ich aus den Borelmengen nicht schlau, wie Ich das zeigen soll,
da nichts von der Untermannigfaltigkeit gegeben ist.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-05-18


Gemeint sind wohl die Borelmengen in M. Wodurch werden diese erzeugt?



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18


Durch alle offenen/abgeschlossenen/kompakten Teilmengen? Das haben wir Mal so in der Vorlesung aufgeschrieben.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-19


Soweit ich weiß, reichen die offen Mengen schon aus. Jetzt wende dieses Wissen auf <math>\mathbb {M}</math> an...



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Tobi92sr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Heißt das, dass Ich zeigen muss, dass alle Basiseemente in <math>\mathbb{M}</math> enthalten sind?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-05-19


Ja.

Das ist ein Beweisprinzip. Wenn Du eine Eigenschaft für eine Menge von Objekten zeigen möchtest, reicht es aus zu zeigen:

1) Diese Eigenschaft gilt für Erzeugende dieser Menge.
2) Die Eigenschaft bleibt unter den Erzeugungsregel erhalten.

Wenn man so vorgeht, ist meistens 1 oder 2 sehr einfach. Wie wendest Du das jetzt auf die Borelmengen in M an?



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