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Funktionentheorie » Holomorphie » Satz über holomorphe Ableitung
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Universität/Hochschule J Satz über holomorphe Ableitung
yafoo
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  Themenstart: 2017-06-21

Guten Morgen, ich habe hier eine ähnliche Aufgabe gepostet. Den Satz haben wir auch in der Vorlesung bewiesen, ich vermute, dass man den in irgendeiner Form auf die nachfolgende Aufgabe anwenden kann: -- Sei $G\subset\mathbb{C}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, $f:G\to\mathbb{C}$ holomorph und ohne Nullstellen. Zeigen Sie: Ist $f'$ holomoprh, so gibt es eine holomorphe Funktion $h$ auf $G$ mit $e^h=f$ und $h'=f'/f$. -- Wenn die Ableitung holomorph ist, bedeutet das ja, dass die CR-DGL gelten und die Ableitung auf jeden Fall stetig ist. Mir ist jedoch schleierhaft, wie man dann folgern kann, dass es eine weitere Funktion $h$ gibt. Wo kann man das hernehmen? Ich danke euch für Tipps! Gruß, yafoo


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-21

Hallo. du bist doch schon etwas weiter in der komplexen Analysis oder? Ich schließe das daraus, dass du zum Beispiel die Cauchyintegralformel kennst. Wozu also die unnötige Zusatzvoraussetzung, dass $f'$ holomorph ist? Dir sollte bekannt sein, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind und somit natürlich auch jede Ableitung holomorph ist. Zur Aufgabe: Kennst du vielleicht einen Satz, der eine Aussage über die Existenz von Stammfunktionen macht, wenn geschlossene Wegintegrale verschwinden?


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yafoo
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-21

Hey LeBtz, \quoteon(2017-06-21 10:17 - LeBtz in Beitrag No. 1) ...Wozu also die unnötige Zusatzvoraussetzung, dass $f'$ holomorph ist? ... \quoteoff naja, die Voraussetzung war ja in der Aufgabe gegeben. Bewusst war mir das natürlich, ich wollte das nur der Vollständigkeit halber für mich nochmal im Post aufgreifen. \quoteon(2017-06-21 10:17 - LeBtz in Beitrag No. 1) Kennst du vielleicht einen Satz, der eine Aussage über die Existenz von Stammfunktionen macht, wenn geschlossene Wegintegrale verschwinden? \quoteoff Ja, das ist doch der Hauptsatz über Kurvenintegrale. Es existiert eine Stammfunktion genau dann wenn das Wegintegral für jeden geschlossen Integrationsweg verschwindet. Die Funktion muss dafür stetig auf einem Gebiet G sein.


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Ex_Senior
  Beitrag No.3, eingetragen 2017-06-21

Und diese Voraussetzung ist doch für $f'/f$ hier erfüllt gemäß dem Satz, den du im anderen Thread gepostet hast. Wo ist denn genau das Problem, ist steht doch quasi in der Aufgabe, dass du eine Stammfunktion dieses Quotienten suchen musst.


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