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Physik » Schwingungen und Wellen » Wellenzahlen doppelseitig eingespannter Balken
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Universität/Hochschule Wellenzahlen doppelseitig eingespannter Balken
miney
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 86
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-24


Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit den Eigenfrequenzen und Eigenformen eines doppelseitig eingespannten Balkens, dazu habe ich diese Erklärung gefunden. Ich verstehe den Rechenweg grundsätzlich, hänge aber bei der Berechnung der Wellenzahlen. Diese werden über die folgende Gleichung berechnet:

<math>cos(\lambda_j) * cosh(\lambda_j) - 1 = 0</math>

Danach werden im Artikel nur die ersten drei Lösungen der Gleichung angegeben:

<math>
\lambda_1 = 1.875\newline
\lambda_2 = 4.694\newline
\lambda_3 = 7.855
</math>

Mir ist allerdings nicht klar, wie ich diese Lösungen (und nachfolgende) berechnen kann. Da es sich um kontinuierliche Schwingungen handelt müsste es ja unendlich viele Lösungen geben, der geplottete Kurvenverlauf bestätigt dies. Gibt es eine Möglichkeit hier nach Lambda aufzulösen oder lässt sich das Ganze nur numerisch lösen?



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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10703
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-24


Hallo miney,
Du hast einen Vorzeichenfehler, die Gleichung lautet

<math>\displaystyle \cos(\lambda_j)\cdot\cosh(\lambda_j) + 1 = 0</math>

Die Lösungen können nur numerisch bestimmt werden, die nächsten sind

<math>$ $
\begin{align*}
\lambda_4 & = 10.996 \\
\lambda_5 & = 14.137 \\
\lambda_6 & = 17.279 \\
\lambda_7 & = 20.420
\end{align*}
</math>

Weil der hyperbolische Kosinus sehr schnell wächst, nähern sich die Lösungen mit wachsendem <math>j</math> den entsprechenden Nullstellen des Kosinus.

Servus,
Roland



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miney
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Dabei seit: 18.01.2011
Mitteilungen: 86
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-24


Hallo rlk,

der Vorzeichenfehler kommt daher, dass das Beispiel einen einseitig eingespannten Balken behandelt. Beim doppelseitig eingespannten bekommt man aufgrund der geänderten Randbedingungen auf das <math>+</math>, mein Fehler, das habe ich vergessen zu erwähnen.

Vielen Dank für die Hilfe, ich hatte schon geahnt, das eine analytische Lösung hier nicht möglich ist...



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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10703
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-24


Hallo miney,
in diesem Fall sind die auf 5 Nachkommastellen gerundeten Lösungen

<math>$ $
\begin{align*}
\lambda_1 & = 0        & = 0.00000 \pi \\
\lambda_2 & = 4.73004  & = 1.50562 \pi \\
\lambda_3 & = 7.85320  & = 2.49975 \pi \\
\lambda_4 & = 10.99561 & = 3.50001 \pi \\
\lambda_5 & = 14.13717 & = 4.50000 \pi \\
\lambda_6 & = 17.27876 & = 5.50000 \pi \\
\lambda_7 & = 20.42035 & = 6.50000 \pi \\
\lambda_8 & = 23.56194 & = 7.50000 \pi
\end{align*}</math>

Servus,
Roland



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