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Universität/Hochschule Konvergenz Funktionenfolge
nickuser
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.09.2017
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2017-09-06

Hi, ich habe folgende Funktionenfolge: $\displaystyle \varphi _{k}(x) =\left\{\begin{matrix}\frac{k}{2}, \quad \left | x \right |\leq \frac{1}{k} \\ 0, \quad sonst\end{matrix}\right.$ und möchte folgendes zeigen: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot \varphi _{k}(x) \, dx \rightarrow f(0) \quad fuer \quad k \rightarrow \infty$ Dabei gilt: $\displaystyle f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ Ich habe es schon mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung probiert, indem ich erst $\varphi _{k}(x)$ eingesetzt habe und entsprechend die Integralgrenzen angepasst habe. Damit kann ich aber nicht direkt $\displaystyle f(x_0)$ mit $x_0=0$ bestimmen, sondern nur ein Intervall in dem $\displaystyle x_0$ liegen muss. Kann mich hier jemand auf den richtigen Pfad bringen?


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Bai
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Mitteilungen: 1248
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-06

Hi, aber dieses Intervall hängt doch von k ab.


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nickuser
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.09.2017
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-06

Oh, ich glaube ich habe den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Dadurch, dass $\displaystyle \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\frac{1}{k}} = 0$ ist, geht das gesamte Intervall gegen 0. Und das reicht in dieser Aufgabe vollkommen aus?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1469
Wohnort: Freiburg
  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-06

Hallo nickuser, die entscheidende Stelle ist hier $\lim_{k\to \infty}f(\xi)=f(0)$, wobei $\xi \in \left[-1/k,1/k\right]$ bekommt man aus dem Mittelwertsatz. Für k gegen unendlich, geht $\xi$ also gegen 0 und $f(\xi)$ gegen $f(0)$ wegen der Stetigkeit von f. lg Wladimir


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