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Mathematik » Differentialgleichungen » Faltung einer Matrix mit einem Vektor
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Universität/Hochschule J Faltung einer Matrix mit einem Vektor
Zoina95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-15


Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Faltung. Allgemein ist mir klar was die Faltung ist und was sie macht. Jedoch hab ich bei diesem konkreten Beispiel aus dem Buch von J. Smoller "Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations" von 1983 ein Problem mit dem Verständnis.
Wie ist <math>G(t) \ast u_0</math> zu verstehen?
Wobei <math>G(t) =diag (g_1(t),g_2(t),...,g_n(t))</math> eine Diagonalmatrix mit Einträgen <math>        g_i(t) &= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi d_i t}} \; exp\left[ \dfrac{-x^2}{4 d_i t}\right]  \quad i = 1, 2, \cdots, n</math> ist. Zudem ist <math>u_0 = u(x,0)</math> der Anfangswert zur inhomogenen Wärmeleitgleichung wobei <math>u: \mathbb{R} \times (0,T) \to \mathbb{R}^n</math> ist. Somit wird ja hier eine Matrix mit einem Vektor gefaltet oder irre ich mich da? Und wie genau ist das zu verstehen?

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen. Danke schonmal :)

Viele Grüße :)



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uniQue_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-15


Hallo,
ich kenne den Kontext nicht. Steht da irgendetwas ueber Faltung oder koennte es sich auch einfach um ein Matrix-Vektor-Produkt handeln?



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Zoina95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16


Hey,

danke erstmal für die Antwort :)
Nein im Kontext steht leider nichts dazu wie es zu verstehen ist. Meiner Auffassung nach wird hier einfach komponentenweise gefaltet oder irre ich mich da komplett? Also praktisch <math>g_i(t) \ast u_0_i</math>?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Zonia95,

ich würde unter der Faltung der Matrix <math>A(t)</math> mit dem Vektor <math>f(t)</math> den Ausdruck <math>\displaystyle (A\ast f)(s)=\int_{-\infty}^\infty A(t) f(s-t)\, dt</math> verstehen.

Im Integral ist es ein Matrix-Vektor-Produkt.

Wally
\(\endgroup\)


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Zoina95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-18


Danke Wally! Macht auch am meisten Sinn, wenn man sich das überlegt!

Viele Grüße



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