Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Mathematik » Differentialgleichungen » Methode der Charakteristiken
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Methode der Charakteristiken
pspracers
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.09.2017
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-25


Hallo,

Ich versuche das Beispiel 3 aus folgender Musterprüfung zu lösen:


dazu habe ich folgendes charakteristisches Differentialgleichungssystem herausgeschrieben:

<math>\dot x = 1, \dot y = y+2z, \dot z = z</math>

Daraus habe ich folgendes Phasen-Differentialgleichungssystem erhalten:

<math>\frac{dx}{dz} = \frac{1}{z}</math> und <math>\frac{dy}{dz} = \frac{y}{z}+2</math>

Die erste Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen, da bin ich auf

<math>e^x = zC_1</math> oder <math>C_1 = \frac{e^x}{z}</math> gekommen.

Bei der 2. Differentialgleichung komme ich nicht weiter, Trennung der Variablen funktioniert hier nicht, da ich die Variablen nicht getrennt bekomme. Im Buch habe ich bei einem Musterbeispiel gesehen, dass man die Lösung der ersten Differentialgleichung in die 2. einsetzen kann, aber auch damit komme ich nicht weiter :/

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! :)
Vielen Dank im Voraus
LG Markus



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1696
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-25


Hallo Markus,

du könntest <math>t:=\frac{y}{z}</math> substituieren. Damit lässt sich die DGL lösen. Ob dein Ansatz nun stimmt, habe ich jedoch nicht geprüft.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
pspracers
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.09.2017
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-25


Hallo Küstenkind,

Hast du noch einen kleinen Hinweis für mich wie ich den da die Substitution genau beachte?
Vielen Dank
LG Markus



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11131
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-25


Hallo
fed-Code einblenden


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
pspracers
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.09.2017
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-25


Hallo lula,

Ich tu mich bei den Differentialgleichungen ziemlich schwer, und versteh auch nicht die ganzen Hintergründe der Aufgabenstellungen. Wenn ich also ein Beispiel wie dieses löse und erstmal nicht weiter komme habe ich mir als erstes die Lösungungsmethode im Buch angesehen. Da werden einige Beispiele durchgerechnet. Allerdings ist leider keines so gestellt wie das der Musterprüfung.
Den Ansatz den du hier geschrieben hast hab ich bisher zu den partiellen Differentialgleichungen noch nicht gesehen. Ich verstehe was du da machst, nur bin ich mir nicht sicher ob man das Beispiel so lösen darf.
Ich weiß nicht ob ich das hier darf, aber ich kann auch gerne das eine ähnliche Beispiel welches ich im Startpost erwähnt habe abfotografieren.
LG Markus



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1600
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-26


Hallo,

wenn Du die Idee von lula vollends weiterverfolgst, dann kommst Du auf die Lösung
<math>x(t)=C_1+t, \; z(t)= C_2 e^t</math> und <math>y(t)=C_3 e^t+2C_2t e^t</math>.

Damit weißt Du, dass <math>u(C_1+t,C_3 e^t+2C_2t e^t,C_2 e^t)=const.</math> ist.
Möglicherweise ist das schon alles, was in dieser aufgabe verlangt ist?

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1696
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-09-26


2017-09-25 15:34 - pspracers in Beitrag No. 2 schreibt:
Hast du noch einen kleinen Hinweis für mich wie ich den da die Substitution genau beachte?

Hallo Markus,

hast du denn noch nie eine DGL durch Substitution gelöst? Mit <math>t:=\frac{y}{z}</math> gilt <math>y=tz</math> und somit <math>\frac{dy}{dz}=t"z+t</math>. Setzen wir ein:

<math>\displaystyle t"z+t=t+2</math>

<math>\displaystyle t"=2z^{-1}</math>

<math>\displaystyle t=2\ln(z)+c_2</math>

Resubstituieren wir noch:

<math>\displaystyle \frac{y}{z}=2\ln(z)+c_2</math>

<math>\displaystyle c_2=\frac{y-2z\ln(z)}{z}</math>

Somit erhalten wir als Lösung <math>\displaystyle u(x,y,z)=F\left(\frac{1}{z}e^x,\frac{y-2z\ln(z)}{z}\right)</math> für eine beliebige differenzierbare Funktion <math>F(X,Y)</math>.

2017-09-25 12:59 - pspracers im Themenstart schreibt:
Im Buch habe ich bei einem Musterbeispiel gesehen, dass man die Lösung der ersten Differentialgleichung in die 2. einsetzen kann

Das braucht du hier nicht. Ein Beispiel wo dieses nötig wäre, wäre z. B.:

<math>\displaystyle u_x+xyu_y+2x^2z\ln(y)u_z=0</math>

Da erhalten wir:

<math>\displaystyle \frac{dx}{1}=\frac{dy}{xy}=\frac{dz}{2x^2\ln(y)}</math>

Damit ist die erste charakteristische Gleichung direkt zu lösen:

<math>\displaystyle \frac{dy}{dx}=xy</math>

<math>\displaystyle y=c_1e^{\frac{1}{2}x^2}</math> bzw. <math>\displaystyle c_1=ye^{-\frac{1}{2}x^2}</math>

Für die zweite charakteristische Gleichung ergibt sich:

<math>\displaystyle dx=\frac{dz}{2x^2z\ln(y)}</math>

Dort müssten wir nun <math>y</math> einsetzen und erhalten:

<math>\displaystyle 2x^2\ln\left(c_1e^{\frac{1}{2}x^2}\right)dx=\frac{dz}{z}</math> mit der Lösung

<math>\displaystyle -\frac{2}{15}\left(x^5-5x^3\ln\left(c_1e^{\frac{1}{2}x^2}\right)\right)=\ln(z)+c_2
</math>

Und somit:

<math>\displaystyle c_2=-\frac{2}{15}\left(x^5-5x^3\ln(y)\right)-\ln(z)</math>

Hier löst die PDE also allgemein <math>\displaystyle u(x,y,z)=F\left(ye^{-\frac{1}{2}x^2},-\frac{2}{15}\left(x^5-5x^3\ln(y)\right)-\ln(z)\right)</math>.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
pspracers
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.09.2017
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-26


Hallo Küstenkind,

Vielen Dank für die Erklärung :) so hab das Beispiel jetzt verstanden.
Lg Markus



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
pspracers hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
pspracers hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
pspracers wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]