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Analysis » Funktionalanalysis » Homogenitätsgrad der Fourier-Transformation einer temperierten Distribution
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Universität/Hochschule Homogenitätsgrad der Fourier-Transformation einer temperierten Distribution
Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-18


Hallo zusammen,

Ich verstehe einen Schritt im Beweis dieser Aussage nicht:

Theorem: "If <math>T</math> is a tempered distribution which is homogenous of degree <math>a</math>, then its Fourier transform is homogenous of degree <math>-n-a</math>"

Proof: "Let <math>\phi_{\lambda}(x) = \lambda^{-n}\phi(\lambda^{-1}x)</math> then by definition of Fourier transform for <math>T</math> And by using

<math>\displaystyle (1.18)\qquad \text{if } g(x)=\lambda^{-n}f(\lambda^{-1}x),\text{ then } \hat{g}(\xi)=\hat{f}(\lambda\xi)</math>
we have
<math>\hat{T}(\phi_\lambda)=T(\hat{\phi}(\lambda\cdot))=\lambda^{-n}T(\hat{\phi}_{\lambda^{-1}})=\lambda^{-n-a}T(\hat{\phi})=\lambda^{-n-a}\hat{T}(\phi)\\
</math>"

Ich habe die Schritte versucht zu nachvollziehen:
<math>\hat{T}(\phi_\lambda)=T(\hat{\phi_\lambda})=T(\hat{\lambda^{-n}\phi(\lambda^{-1}x}))=\lambda^{-n}T(\phi\hat{}(\lambda^{-1}x))\\
</math>

und

<math>\displaystyle \lambda^{-n}T(\phi\hat{}(\lambda^{-1}x))\stackrel{(*)}{=}\lambda^{-n}T(\lambda\hat{\phi})=\lambda^{-n-a}T(\hat{\phi})=\lambda^{-n-a}\hat{T}(\phi)</math>

Allerdings verstehe ich den Schritt bei <math>(*)</math> nicht.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-18


Hi Dukkha,
es wird in dem (formalen) Integral, das die Anwendung der Distribution definiert, eine Substitution z = λ-1x vorgenommen.
Solch eine Substitution hat dieselben Eigenschaften wie bei gewöhnlichen Integralen. Der Term rechts von dem (*) ist dann ein (formales) Integral über z. Es ist schwierig, den genauen Sachverhalt in der Schreibweise zum Ausdruck zu bringen, man möchte ja vermeiden, ein Integralzeichen hinzuschreiben.
Gruß Buri



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-18


Hi Buri,

Achso. Ich habe mit der Notation ein bisschen Mühe, mit <math>\displaystyle \phi_{\lambda^{-1}}</math> ist schon <math>\displaystyle \lambda^{n}\phi(\lambda x)</math> gemeint? Und <math>\hat{\phi}(\lambda \cdot)</math> steht für die Fourier-Transformation von <math>\displaystyle \lambda^{-n}\phi(\lambda^{-1} x)</math>? Irgendwie verwirrt mich dieser Punkt dort.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


2017-10-18 23:30 - Dukkha in Beitrag No. 2 schreibt:
... verwirrt mich dieser Punkt dort.
Hi Dukkha,
auch ich habe Mühe, mit der Bezeichnung klarzukommen. Es ist alles nicht so richtig überzeugend, was da steht. Der Punkt steht für die Variable, bezüglich derer die Distributions-Anwendung erfolgt. Falls die Distribution durch ein Integral definiert ist, ist die Integrationsvariable gemeint.
Gruß Buri



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