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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit der dist-Funktion
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Universität/Hochschule Stetigkeit der dist-Funktion
iloverubberducks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-15


Wie zeige ich, dass die Funktion dist({x},N):=inf |x-y|,y ∈N stetig ist, wenn N kompakt ist?
N ist entweder ⊂C oder ⊂ R und x dann dementsprechend ∈ C oder ∈ R.
Ich habe versucht, es mit der Epsilon Delta zu beweisen, allerdings komme ich zu keinem Ergebnis, da ich inf|x-n|, n ∈ N zwar gut nach unten abschätzen kann (das infimum ist ja die untere Grenze), aber nicht inf|y-n| nach oben, wenn |x-y| < δ.
Ich wäre sehr dankbar für Hilfe!
Mein bisheriger Ansatz:
δ=ε
|x-y|<ε
n ∈ N
Es gilt: |dist(x,N)-dist(y,N)|=|inf|x-N|-inf|y-N||<||x-n|-inf|y-N||
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich so weitermachen kann:
<||x-n|-|y-n||<|y-x| und das ist nach der Definition von δ < ε.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-15


Hi iloverubberducks,
die Kompaktheit von N wird beim Beweis der Aussage nicht gebraucht.
Die dist-Funktion ist sogar lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstanten 1, das kann man Hilfe der Dreiecksungleichung beweisen.
Gruß Buri



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iloverubberducks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


Vielen Dank.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich die beiden Infima sinnvoll abschätzen kann, so dass ich die Dreiecksungleichung anwenden kann, da ich nicht direkt mit Beträgen, sondern mit dem Infimum von diesen rechne.



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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-15


Hi iloverubberducks,
die folgende Ungleichungskette mit beliebigen Elementen x1 und x2 beweist die Lipschitzstetigkeit:
fed-Code einblenden
Es wird hierbei davon Gebrauch gemacht, dass man bei einer Ungleichung, in diesem Fall bei der Dreiecksungleichung d(x1,y) ≤ d(x1,x2) + d(x2,y), auf beiden Seiten das Infimum bezüglich einer auftretenden freien Variablen, hier bezüglich y ∈ N, bilden kann, es gilt dann dieselbe Ungleichung ≤ bzw. ≥ für die gebildeten Infimumswerte. Dabei bleiben strikte Ungleichungen < bzw. > nicht erhalten, man muss sie durch ≤ bzw. ≥ ersetzen.
Gruß Buri



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iloverubberducks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


Vielen Dank für die Mühen und eine schöne Weihnachtszeit, ich habe es jetzt verstanden!



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