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Mathematik » Differentialgleichungen » Arnolds Katzenabbildung chaotisch
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Universität/Hochschule Arnolds Katzenabbildung chaotisch
nicolukas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-15


Ich versuche vergebens zu beweisen, dass Arnolds Katzenabbildung

$$ \begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix} = F(x_n, y_n) :=\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}}_{=:A} \begin{pmatrix} x_{n}\\y_{n} \end{pmatrix} \mathrm{mod} 1
$$
auf $\lbrack 0,1\rbrack ^2$ chaotisch ist. Nach den Definitionen von Chaos, die ich im Internet gefunden habe, muss ich dafür folgende drei Dinge zeigen:

1. Die periodischen Orbits liegen dicht in $\lbrack 0,1\rbrack ^2$.
2. Es gibt einen dichten Orbit (dies liefert dann topologische Transitivität).
3. Sensitive Abhängigkeit von Anfangsbedingungen: Für alle Startwerte $(x_0,y_0)\in\lbrack 0,1\rbrack^2$ gibt es ein $r>0$, sodass es für alle $\delta>0$ einen Punkt $(\hat x_0, \hat y_0)\in B_{\delta}((x_0, y_0))$
und ein $n\in\mathbb{N}$ gibt, sodass

$$ \Vert F^n(x_0, y_0)-F^n(\hat x_0, \hat y_0)  \Vert \geq r.
$$
Die erste Eigenschaft konnte ich folgendermaßen zeigen:
Man nehme einen Punkt $(x_0, y_0)$ aus dem Quadrat $\lbrack 0,1\rbrack^2$ mit rationalen Komponenten und bringe diese auf einen gleichen Nenner, d.h. $(x_0, y_0) = (\frac{n_1}{q},\frac{n_2}{q})$ mit $n_1,n_2, q \in\mathbb{N}$. Man sieht nun leicht ein, dass alle weiteren Punkte des Orbits auch Nenner $q$ haben. Da es aber in $\lbrack 0,1\rbrack^2$ nur endlich viele Punkte dieser Art gibt, muss es sich um einen periodischen Orbit handeln. Da die rationalen Zahlen dicht in $\lbrack 0,1\rbrack^2$ sind, hat man die Aussage gezeigt.

Den Beweis der zweiten Eigenschaft habe ich folgendermaßen begonnen. Ich habe zunächst gezeigt, dass $\begin{pmatrix} x_n\\y_n\end{pmatrix} =A^n\begin{pmatrix} x_0\\y_0\end{pmatrix} \mathrm{mod}1$ gilt, d.h. es genügt einmal mod 1 zu nehmen und nicht nach jeder Iteration. Dies ist nur möglich, da $A$ nur ganzzahlige Einträge hat. Nun habe ich die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$ berechnet. Die Eigenwerte sind:

$$ \lambda_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}>1,\quad\lambda_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}<1
$$ Die zugehörigen Eigenvektoren sind gegeben durch:
$$ v_1 = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix} \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1\end{pmatrix}
$$ Um einen periodischen Orbit zu bekommen, würde ich nun irgendwo auf dem
Eigenraum zu $v_1$ beginnen. Dann gilt nämlich:

$$ \begin{pmatrix} x_n\\y_n\end{pmatrix} =(A^n v_1)\mathrm{mod}1 = (\lambda_1^n v_1) \mathrm{mod}1
$$ Ein allgemeines Resultat besagt, dass die Abbildung $t\mapsto t\cdot \begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}\mathrm{mod}1$ genau dann dicht in $\lbrack 0,1\rbrack^2$ ist, wenn $\frac{a}{b}\notin\mathbb{Q}$. Diese Bedingung ist für die Komponenten von $v_1$ erfüllt. Das Problem ist jetzt nur, dass ich bei meinem diskreten dynamischen System kein kontinuierliches $t$ habe sondern nur $t=\lambda^n$ für $n\in\mathbb{N}$ verwende. Wie ich diese Lücke schließen soll, weiß ich nicht.

Bei der sensitiven Abhängigkeit weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht ist ein Ansatz mit Lyapunov-Exponenten hilfreich, allerdings bin ich immer durch das $\mathrm{mod} 1$ verwirrt.

Für jede Art der Hilfe bin ich dankbar!



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-16


Hallo,

bei 3. ist die Idee mit den Lyapunov-Exponenten schon gut.
Hier ist ja alles (fast) linear, man könnte also <math>(\hat{x}_0,\hat{y}_0)</math> genau in Richtung des Eigenvektors zum größeren Eigenwert wählen.

Für 2. würde ich vermutlich versuchen, indirekt zu argumentieren und annehmen, dass es ein kleines Rechteck gibt, das nie getroffen wird. Ich könnte mir vorstellen, dass man dann ähnlich durchkommt, wie im Eindimensionalen, wenn man zeigt, dass die Folge <math>(nx \mod \pi)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf dem Kreis dicht liegt, wenn <math>x</math> und <math>\pi</math> rational unabhängig sind.

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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