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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Normiertes eindeutiges Polynom
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Universität/Hochschule Normiertes eindeutiges Polynom
janalp
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 101
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-18

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

kann jemand mir helfen, um diese Aufgabe zu lösen?

Zeige, dass sich jedes normierte Polynom \[p \in K[x]\] eindeutig als Produkt von normierten irreduziblen Polynomen schreiben lässt.
\(\endgroup\)


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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1024
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-18


Hi,

was weißt du schon über K[x]?



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4043
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
2017-12-18 03:23 - janalp im Themenstart schreibt:
Zeige, dass sich jedes normierte Polynom \[p \in K[x]\] eindeutig als Produkt von normierten irreduziblen Polynomen schreiben lässt.

Dieser Satz ist - so wie der da steht - klar falsch. Nimm als $K$ z.B. den Restklassenring mod 6, dessen Elemente ich hier der Einfachheit halber mit $0,1,2,3,4,5$ bezeichne. Dann hat $x^2+x$ die zwei essentiell verschiedenen Zerlegungen

$x^2+x=x(x+1)=(x+3)(x+4)$

als Produkt normierter irreduzibler Polynome.

Offensichtlich müssen also über den Koeffizientenring $K$ noch irgendwelche Voraussetzungen gelten, z.B., dass er ein Körper ist, welche du vergessen hast mit anzugeben.
\(\endgroup\)


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