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Mathematik » Stochastik und Statistik » Abstand zweier gleichverteilter Punkte in der Ebene
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Universität/Hochschule Abstand zweier gleichverteilter Punkte in der Ebene
KiHa
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-30


Hallo zusammen,^^
ich habe eine Aufgabe, die mir sehr schwer fällt und ich weiß nicht wie ich anfangen soll. frown Ich hoffe, eure Hilfe zu bekommen.
Die Aufgabe confused  ist:
In einer Ebene seien zufällig Punkte markiert, wobei eine gleichmäßige Punktdichte Rho vorliegt. Bestimmen Sie für den Abstand A, den ein Punkt zu seinem nächsten Nachbarn hat,die Verteilungsfunktion und die zugehörigen Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und Streuung?

Vielen Dank im Voraus für eure Antworten und ich wünsche euch Alles Gute zum Neujahr ^^

Viele Grüße ^^
Kim Hanh




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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45533
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-31


2017-12-30 17:00 - KiHa im Themenstart schreibt:
... eine Aufgabe, die mir sehr schwer fällt ...
Hi KiHa,
die Aufgabe ist noch nicht vernünftig formuliert, es ist kein Wunder, dass man damit zunächst nichts anfangen kann.
Ist irgendetwas über die Anzahl der Punkte bekannt, die gegeben sind?
Sind es vielleicht nur zwei Punkte, denn so steht es im Titel des Themas?
Für eine größere Anzahl von Punkten handelt es sich um ein schwieriges Problem, das mit einfachen Methoden nicht gelöst werden kann.
Gruß Buri




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lula
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10774
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-31


Hallo @buri
siehe
www.youtube.com/watch?v=i4VqXRRXi68
da ist doch nicht von 2 Punkten die rede, sondern nur vom Abstand von je z Punkten?
bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45533
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-31


2017-12-31 15:48 - lula in Beitrag No. 2 schreibt:
... da ist doch nicht von 2 Punkten die rede ...
Hi lula,
doch, ich sehe in dem Video immer nur 2 Punkte und den Abstand zwischen ihnen. Meine Frage ist also erledigt.
Es ist nicht richtig, dieses Problem als "very hard" zu bezeichnen, zumindestens ist das Ansichtssache. Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Vierdimensionalen, das führt auf ein entsprechendes Mehrfachintegral, wie es in dem Video betrachtet und erklärt wird, und übermäßig kompliziert ist das nicht, es erfordert nur einige Rechenarbeit.
Wirklich schwierig wird das Problem, wie ich schon sagte, wenn man eine beliebige Anzahl n von Punkten im Einheitsquadrat betrachtet und nach dem kürzesten Abstand fragt.
Es ist unverständlich, wieso in der Aufgabenstellung im Startbeitrag die Formulierung "zu seinem nächsten Nachbarn" vorkommt, dies ist sinnlos, denn wenn nur zwei Punktwe betrachtet werden, gibt es nur einen nächsten Punkt, den anderen eben. Oder verstehe ich das falsch?
Gruß Buri



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KiHa
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-31


(ich bin neu hier und ich weiß nicht genau wo ich Buri und LuLa antworten soll. Ich hoffe, hier ist schon richtig ^^)
Vielen Dank Buri und LuLa für eure schnelle Antworten. ^^
Die Aufgabenstellung ist genau so wie ich im Startbeitrag geschrieben habe. >"<
Ich bekomme einen Hinweis, dass ich voraus setzen kann, dass die unendliche Ebene in gleich große Quadraten (mit Länge R) zerlegt wird und die Punktverteilungen in allen Quadraten übereinstimmen. Ich verstehe, dass die Anzahl der Punkte in allen Quadraten gleich sind (beliebige Anzahl der Punkten pro Quadrat). Der nächste Nachbar von dem Punkt ist ein Punkt (kann sein, dass es mehrere Punkte, die gleichen Abstand zu dem markierten Punkt haben)

(Ich bin eine ausländische Studentin, ich habe vielleicht viele Fehler beim Schreiben. Ich bitte euch um Verständnis dafür^^)

Herzliche Grüße zum Jahreswechsel ^^
Kim Hanh



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KiHa
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 4
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-31


2017-12-31 16:03 - Buri in Beitrag No. 3 schreibt:
2017-12-31 15:48 - lula in Beitrag No. 2 schreibt:
... da ist doch nicht von 2 Punkten die rede ...
Hi lula,
doch, ich sehe in dem Video immer nur 2 Punkte und den Abstand zwischen ihnen. Meine Frage ist also erledigt.
Es ist nicht richtig, dieses Problem also "very hard" zu bezeichnen, zumindestens ist das Ansichtssache. Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Vierdimensionalen, das führt auf ein entsprechendes Mehrfachintegral, wie es in dem Video betrachtet und erklärt wird, und übermäßig kompliziert ist das nicht, es erfordert nur einige Rechenarbeit.
Wirklich schwierig wird das Problem, wie ich schon sagte, wenn man eine beliebige Anzahl n von Punkten im Einheitsquadrat betrachtet und nach dem kürzesten Abstand fragt.
Es ist unverständlich, wieso in der Aufgabenstellung im Startbeitrag die Formulierung "zu seinem nächsten Nachbarn" vorkommt, dies ist sinnlos, denn wenn nur zwei Punktwe betrachtet werden, gibt es nur einen nächsten Punkt, den anderen eben. Oder verstehe ich das falsch?
Gruß Buri

(ich bin neu hier und ich weiß nicht genau wo ich Buri und LuLa antworten soll. Ich hoffe, hier ist schon richtig ^^)
Vielen Dank Buri und LuLa für eure schnelle Antworten. ^^
Die Aufgabenstellung ist genau so wie ich im Startbeitrag geschrieben habe. >"<
Ich bekomme einen Hinweis, dass ich voraus setzen kann, dass die unendliche Ebene in gleich große Quadraten (mit Länge R) zerlegt wird und die Punktverteilungen in allen Quadraten übereinstimmen. Ich verstehe, dass die Anzahl der Punkte in allen Quadraten gleich sind (beliebige Anzahl der Punkten pro Quadrat). Der nächste Nachbar von dem Punkt ist ein Punkt (kann sein, dass es mehrere Punkte, die gleichen Abstand zu dem markierten Punkt haben)

(Ich bin eine ausländische Studentin, ich habe vielleicht viele Fehler beim Schreiben. Ich bitte euch um Verständnis dafür^^)

Herzliche Grüße zum Jahreswechsel ^^
Kim Hanh



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5004
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-01

\(\begingroup\)
Hallo KiHa,

2017-12-30 17:00 - KiHa im Themenstart schreibt:
In einer Ebene seien zufällig Punkte markiert, wobei eine gleichmäßige Punktdichte Rho vorliegt.

Das klingt für mich nach einem räumlichen Poissonprozess mit dem Paramater $\rho$.

2017-12-30 17:00 - KiHa im Themenstart schreibt:
Bestimmen Sie für den Abstand A, den ein Punkt zu seinem nächsten Nachbarn hat,die Verteilungsfunktion und die zugehörigen Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und Streuung?

Schau Dir mal den Wikipedia-Artikel zur nearest neighbour distribution eines Punktprozesses an, vielleicht hilft der Dir weiter.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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KiHa
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-04

\(\begingroup\)
2018-01-01 07:47 - dromedar in Beitrag No. 6 schreibt:
Das klingt für mich nach einem räumlichen Poissonprozess mit dem Paramater $\rho$.

Schau Dir mal den Wikipedia-Artikel zur nearest neighbour distribution eines Punktprozesses an, vielleicht hilft der Dir weiter.

Hallo Dromedar,
Vielen Dank für Ihre Antwort.
ich habe mich über Point Process und Nearest neighbor function informiert. ^^
die nearest neighbour distribution für Poison point process ist : \[D_{o}(r)= 1- e^{- \lambda \pi r^{2}}\] mit $\lambda$, die die erwartete Anzahl der Punkten auf einer Fläche beschreibt.
Das heißt, wenn ich meine unendliche Ebene in gleich großen Quadrate zerlege, ist $\lambda$ den Konstant $\rho$ ( $\rho$ ist die Anzahl der Punkten pro Quadrat). Aber ich muss mit meiner Aufgaben auf eine ganze unendliche Ebene betrachten. frown
oder habe ich etwas falsch verstanden? frown

Vielen Dank noch mal auf Ihren Vorschlag, ich habe von Ihren Vorschlag 2 neue interessante Themen kennengelernt ^^

 

\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5004
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-04

\(\begingroup\)
2018-01-04 00:26 - KiHa in Beitrag No. 7 schreibt:
die nearest neighbour distribution für Poison point process ist : \[D_{o}(r)= 1- e^{- \lambda \pi r^{2}}\] mit $\lambda$, die die erwartete Anzahl der Punkten auf einer Fläche beschreibt.

$\lambda$ ist nicht der Erwartungswert für die Anzahl der Punkte, die in eine bestimmte endlichen Fläche fallen.

Dieser Parameter sagt vielmehr, dass für irgendeine (meßbare) Fläche $B$ die Anzahl der Punkte, die in $B$ fallen, Poisson-verteilt mit dem Parameter $\lambda\cdot|B|$ ist, wobei $|B|$ das Lebesgue-Maß von $B$ ist. Insbesondere ist somit der Erwartungswert für die Anzahl der in $B$ fallenden Punkte $=\lambda\cdot|B|$.

2018-01-04 00:26 - KiHa in Beitrag No. 7 schreibt:
Das heißt, wenn ich meine unendliche Ebene in gleich großen Quadrate zerlege, ist $\lambda$ den Konstant $\rho$ ( $\rho$ ist die Anzahl der Punkten pro Quadrat).

$\rho$ ist in Deiner Aufgabe die Punktdichte, also der Quotient aus dem Erwartungswert der Anzahl der auf eine Fläche fallenden Punkte und der Größe dieser Fläche. Und das ist nichts anderes als $\lambda$:

    $\displaystyle
\rho={\lambda\cdot|B|\over|B|}=\lambda$

2018-01-04 00:26 - KiHa in Beitrag No. 7 schreibt:
ich habe von Ihren Vorschlag 2 neue interessante Themen kennengelernt

Wenn Du sagst "kennengelernt", vermute ich mal, dass Du diese Begriffe nicht zur Lösung dieser Aufgabe verwenden sollst. Du kannst aber ohne Weiteres auf die Ideen dahinter zurückgreifen, denn ein räumlicher Poisson-Prozess ist nicht mehr als die exakte Fassung des folgenden heuristischen Bildes:

(1) Wenn man die Ebene in "genügend kleine" Quadrate der Kantenlänge $R$ unterteilt, dann fallen in so ein Quadrat entweder 0 oder 1 Punkt.
(2) Die Wahrscheinlichkeit für 1 Punkt ist $=\rho\cdot R^2$.
(3) Die Wahrscheinlichkeiten für die Punktzahlen in unterschiedlichen Quadraten sind unabhängig.

Die Verbindung zwischen diesem heuristischen Bild und der exakten Formulierung liefert der Poissonsche Grenzwertsatz.
\(\endgroup\)


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