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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Herleitung im Hilbertkalkül
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Universität/Hochschule Herleitung im Hilbertkalkül
aiquita
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.06.2015
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-10


Hallo Miteinander!

Eine Aufgabe aus dem Bereich des Hilbertkalküls macht mich sich seit einigen Tagen fertig. Ich habe immer wieder geknobelt, kann sie aber nach wie vor nicht lösen.

Man soll im Hilbertkalkül herleiten: fed-Code einblenden

Zur Verfügung stehen die Axiome fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und der Deduktionssatz.

Ich wäre euch Dankbar, wenn ihr mir einen Denkanstoß geben könntet, wie man da weiterkommt.

Viele Grüße
Marvin



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-10


Wer benutzt heutzutage einen Hilbertkalkül biggrin



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1242
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-11

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\)
Ich nenne die Axiome mal
$K\colon A \to B \to A$,
$S\colon (A\to B \to C) \to (A \to B) \to A \to C$ und
$L\colon (\lnot A \to \lnot B) \to B \to A$.
(Und um nicht in Klammerwust zu ersticken, sei <math>\to</math> syntaktisch rechtsassoziativ, also $X\to Y\to Z$ steht für $X\to(Y\to Z)$ etc.)
Es handelt sich eigentlich um Axiomenschemata, d.h. die A,B,C können durch andere Formeln ersetzt werden, wobei ich die konkreten Substitutionen im folgenden aber bestenfalls in der Prosa angeben, oft aber weglassen werde.

Weitere Konvention: Die modus-Ponens-Anwendung auf zwei Beweisterme (die für Ableitungen stehen) schreibe ich mit Juxtaposition: Wenn $f\colon A \to B$ und $x\colon A$, so $fx\colon B$. Dies wiederum ist linksassoziativ: $fxy$ steht für $(fx)y$.
Beispiel: $SK\colon (A \to B) \to A \to A$ (für beliebige $A,B$)
Beispiel: $I := SKK\colon A \to A$ (für beliebige A)

Temporär nehmen wir an, wir hätten etwas besseres als einen Hilbertkalkül. Nämlich können wir Lambda-Terme benutzen, um Herleitungen von Implikationen zu spezifizieren.
Wenn wir unter der Annahme $x\colon A$ einen Term $\phi\colon B$ angeben können, sei $(\lambda x.\phi)\colon A \to B$. Mittels $K$ und $S$ kann man die Anwendung dieses Prinzips am Schluss wieder eliminieren; ich werde das hier nicht tun; Siehe kombinatorische Logik.

So, nun zum Eingemachten: Wir wollen also $(\lnot A \to A) \to A$ zeigen.
Dazu nehmen wir $x\colon \lnot A \to A$ an, und müssen nun $A$ zeigen.
Eine $L$-Instanz ist $L\colon (\lnot A \to \lnot (\lnot A \to A)) \to (\lnot A \to A) \to A$. D.h. $L\phi x$ für ein noch zu findendes $\phi\colon \lnot A \to \lnot (\lnot A \to A)$ würde als Beweisterm funktionieren. Finden wir doch so eins. Dazu nehmen wir $y\colon \lnot A$ an, und haben dann $\lnot (\lnot A \to A)$ zu zeigen.
Eine dafür passende L-Instanz wäre, für irgendein $B$,
    $L\colon (\lnot \lnot (\lnot A \to A) \to \lnot B) \to B \to \lnot (\lnot A \to A)$.
Und mit scharf-Hinschauen sieht man, dass $B := A$ schon geeignet ist:
    $L\colon (\lnot \lnot (\lnot A \to A) \to \lnot A) \to A \to \lnot (\lnot A \to A)$
kann auf $Ky$ und $xy$ angewandt werden, und man erhält
    $L(Ky)(xy)\colon \lnot (\lnot A \to A)$.

D.h.
    $\phi = \lambda y. L(Ky)(xy)$
ist ein Beweisterm für $\lnot A \to \lnot (\lnot A \to A)$ (in einem Kontext mit $x\colon \lnot A \to A$).

Und insgesamt ist
    $\lambda x. L(\lambda y. L(Ky)(xy))x$
ein Beweisterm für $(\lnot A \to A) \to A$.

Ergänzung: Doch mal noch eine Übersetzung: Obiger Lambda-Term ist in kombinatorische Logik übersetzt
    $S (S (K L) (S (S (K L) K))) I$.
Die konkreten Typen, die für die S,K,L,I verwendet werden, zeigt folgende Herleitungs-Liste (ja, die sind länglich, weswegen auch in der Praxis praktisch niemand Hilbert-Kalküle verwendet):
1. S:         ((-a -> a) -> (-a -> a) -> a) -> ((-a -> a) -> -a -> a) -> (-a -> a) -> a
2. S:         ((-a -> a) -> (-a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> a) -> ((-a -> a) -> -a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> (-a -> a) -> a
3. K:         ((-a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> a) -> (-a -> a) -> (-a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> a
4. L:         (-a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> a
5. MP 3,4:    (-a -> a) -> (-a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> a
6. MP 2,5:    ((-a -> a) -> -a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> (-a -> a) -> a
7. S:         (-a -> a -> -(-a -> a)) -> (-a -> a) -> -a -> -(-a -> a)
8. S:         (-a -> (--(-a -> a) -> -a) -> a -> -(-a -> a)) -> (-a -> --(-a -> a) -> -a) -> -a -> a -> -(-a -> a)
9. K:         ((--(-a -> a) -> -a) -> a -> -(-a -> a)) -> -a -> (--(-a -> a) -> -a) -> a -> -(-a -> a)
10. L:        (--(-a -> a) -> -a) -> a -> -(-a -> a)
11. MP 9,10:  -a -> (--(-a -> a) -> -a) -> a -> -(-a -> a)
12. MP 8,11:  (-a -> --(-a -> a) -> -a) -> -a -> a -> -(-a -> a)
13. K:        -a -> --(-a -> a) -> -a
14. MP 12,13: -a -> a -> -(-a -> a)
15. MP 7,14:  (-a -> a) -> -a -> -(-a -> a)
16. MP 6,15:  (-a -> a) -> (-a -> a) -> a
17. MP 1,16:  ((-a -> a) -> -a -> a) -> (-a -> a) -> a
18. I:        (-a -> a) -> -a -> a
19. MP 17,18: (-a -> a) -> a

\(\endgroup\)


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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-12


2018-01-11 00:33 - tactac in Beitrag No. 2 schreibt:
... ja, die sind länglich, weswegen auch in der Praxis praktisch niemand Hilbert-Kalküle verwendet

Das Problem bei der praktischen Verwendung eines Hilberttyp-Kalküls ist weniger die Länge der Herleitung, als die mangelnde Suchunterstützung. Die logischen Axiome S, K und L sind ja genaugenommen Schlußregel ohne Prämissen. D.h., man hat Rateschritte im Beweis. Der Kalkül ist also nicht analytisch in dem Sinne, daß die zu beweisende Aussage "Hilfestellung" bei Erstellung des Beweises gibt (dies im Unterschied etwa zum Resolutionskalkül).

Ein Hilberttyp-Kalkül sollte in einer Logikvorlesung allein schon aus historischen Gründen vorgestellt werden. Aber Studenten dann in Übungsaufgaben damit Beweise führen zu lassen (darum ging es ja wohl in der Eingangsfrage) ist grober Unfug und ohne jeden didaktischen Wert.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-13


2018-01-12 15:21 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 3 schreibt:
2018-01-11 00:33 - tactac in Beitrag No. 2 schreibt:
... ja, die sind länglich, weswegen auch in der Praxis praktisch niemand Hilbert-Kalküle verwendet

Das Problem bei der praktischen Verwendung eines Hilberttyp-Kalküls ist weniger die Länge der Herleitung, als die mangelnde Suchunterstützung. Die logischen Axiome S, K und L sind ja genaugenommen Schlußregel ohne Prämissen. D.h., man hat Rateschritte im Beweis. Der Kalkül ist also nicht analytisch in dem Sinne, daß die zu beweisende Aussage "Hilfestellung" bei Erstellung des Beweises gibt (dies im Unterschied etwa zum Resolutionskalkül).
Die Länglichkeit bezog sich auf die Typen, nicht die Herleitung. Ansonsten: Volle Zustimmung.

Ein Hilberttyp-Kalkül sollte in einer Logikvorlesung allein schon aus historischen Gründen vorgestellt werden. Aber Studenten dann in Übungsaufgaben damit Beweise führen zu lassen (darum ging es ja wohl in der Eingangsfrage) ist grober Unfug und ohne jeden didaktischen Wert.
Ja.



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