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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Bedingung dafür, dass A und A^T kommutieren
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Universität/Hochschule J Bedingung dafür, dass A und A^T kommutieren
florent22
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-11


Hallo,

wir haben zur Klausur-Übung folgende Aufgabe bekommen die mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit auch ähnlich abgefragt wird (laut dem Tutor):

fed-Code einblenden

Ganz trivial könnte ich die Aufgabe zwar lösen (einfach nach rechnen) aber ich würde gerne etwas mit dem Hinweis anfangen könnten der mich total verwirrt, da ich wirklich nichts damit anfangen kann..

Bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß
Florent



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1339
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-11


Hallo,

hast du denn die Aufgabe schon mal nachgerechnet?
Ich denke, dass die angegebenen Hinweise auf ganz natürliche Art und Weise im laufe der Rechnung benutzt werden.



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florent22
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Ja ich hab das mal nachgerechnet und da kommt folgendes bei rum:

fed-Code einblenden

Die frage ist wahrscheinlich nichtmal so schwer wie ich mich gerade mit tue, aber ein denkanstoß fehlt mir einfach



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Wie kommst du auf diese Matrizen?

Wir nehmen eine beliebe $2\times 2$ Matrix $A$. Diese hat die Form

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ mit Einträgen aus $\IR$.
Die Transponierte sieht dann so aus:


$A^T=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$

Nun berechne einmal $AA^T$ und $A^TA$. Es soll nun Gleichheit gelten.
Daher die Einträge müssen jeweils übereinstimmen.

Dieses Gleichungssystem gilt es dann zu lösen.
\(\endgroup\)


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florent22
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Die gegeben Matrizen sind ja :

fed-Code einblenden

oder habe ich irgendwo was falsch verstanden?





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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8164
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-14


Ja, hast du falsch verstanden.

Bis jetzt weißt du nur, dass die Eigenschaft <math>A A^T=A^TA</math> für die angegebenen Matrizen gilt.

Und gibt es noch andere? Das findest du nur raus, wenn du so vorgehst, wie es PrinzessinEinhorn vorgeschlagen hat.

Wally



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florent22
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Also müsste ich einfach diese beiden Gleichungssysteme lösen?

fed-Code einblenden
und wieso muss ich eine beliebige 2x2-Matrix dazunehmen?



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8164
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-14


Lies Beitrag 3 noch mal.

Wally



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florent22
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Bin total überfragt gerade..


Wie berechne ich denn das LGS? die beiden ergebnisse der Multiplikation sind:

fed-Code einblenden

Wie komme ich auf die Gleichungen?



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PrinzessinEinhorn
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Mitteilungen: 1339
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Ja, das ist richtig.

Damit die Matrizen gleich sind, müssen nun alle Einträge übereinstimmen.
Es muss also gelten:

1. $a^2+b^2=a^2+c^2$

2. $ac+bd=ab+cd$

3. $ab+cd=ac+bd$

4. $c^2+d^2=b^2+d^2$

Dabei sind 2. und 3. natürlich identisch. Wir haben also nur drei Gleichungen die wir betrachten müssen.
Zu erst können wir vereinfachen. Aus der ersten Gleichung wird

$b^2=c^2$ und aus der vierten $c^2=b^2$ die stimmen dann auch überein.

Wir haben also nunmehr zwei Gleichungen. Konkret:

(a) $c^2=b^2$ und
(b) $ac+bd=ab+cd$

Was folgt aus (a)? (Schau dir den gegebenen Hinweis an)

Ansonsten war dein Problem vorhin, dass du nicht ganz unterschieden hast, was Voraussetzung ist und was du eigentlich zeigen musst.
Daher kam deine Verwirrung.
\(\endgroup\)


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florent22
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15


Danke Danke Danke! habe es hinbekommen :) Tausend Dank!

Mfg



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florent22 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
florent22 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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