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Mathematik » Zahlentheorie » 2er-Potenzen ohne 5
Thema eröffnet 2018-01-12 20:30 von
querin
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Kein bestimmter Bereich J 2er-Potenzen ohne 5
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.160, eingetragen 2018-02-08

\(\begingroup\)

Könntest du vielleicht an einem Beispiel erklären, was deine Funktionen in #149 genau bedeuten? Meine eigenen Versuche, das herauszufinden, waren leider bisher erfolglos.
Irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass diese Frage sarkastisch war, da mit Buris Beitrag #156 fast das Gleiche in grün da steht bis auf die Anzahl der Folgenglieder und halt eben von oben, statt von unten. Trotzdem kann man genauso wie Buri zeigen, dass
\[ \frac{384}{75} > \frac{2^{10n_m+9+3m}}{10^{2+m+3n_m}} \geq 5 \]
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.161, eingetragen 2018-02-09


2018-02-08 23:46 - digerdiga in Beitrag No. 160 schreibt:
Irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass diese Frage sarkastisch war, da mit Buris Beitrag #156 fast das Gleiche in grün da steht bis auf die Anzahl der Folgenglieder und halt eben von oben, statt von unten.

Ne, meine Frage war nicht sarkastisch gemeint, ich hatte mich bei der Erstellung der Programme zur Überprüfung deiner Angaben vertan und es fehlten mir auch die Informationen, welche du dann in #155 auch nachgeliefert hast. Danke übrigens dafür!  wink

Ich bin nur momentan etwas verwirrt und muss das für mich ordnen. Immerhin scheint sich damit mein Gefühl, dass Marbin's Aussagen bez. seiner Folge zwar richtig, aber seine Beweise viel zu umständlich sind, voll bestätigt zu haben. Die Frage, welche mich aber am meisten jetzt beschäftigt ist dabei: Wenn das eh alles so einfach ist, wie es jetzt scheint, warum ist dann nicht schon früher jemand darauf gekommen?  eek



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.162, eingetragen 2018-02-09



Wenn das eh alles so einfach ist, wie es jetzt scheint, warum ist dann nicht schon früher jemand darauf gekommen?
Vielleicht haben die sich darüber während der Kaffeepause Gedanken gemacht und es als Trivialitäten abgestempelt ;)



...aber seine Beweise viel zu umständlich sind...
Was dann Cyrix Aussage bestätigen würde.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.163, eingetragen 2018-02-09


2018-02-09 07:54 - weird in Beitrag No. 161 schreibt:
... warum ist dann nicht schon früher jemand darauf gekommen? eek
Hi weird,
einfach ist (nach näherer Betrachtung) der Beweis, und das ist bei solch einer überschaubar gebildeten Folge nicht überraschend.
Schwierig war es dagegen, auf die Konstruktion dieser Folge zu kommen, und das Verdienst dafür gebührt Marbin. Er hat es entdeckt, wie es geht.
Gruß Buri



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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.164, eingetragen 2018-02-09


2018-02-09 17:12 - Buri in Beitrag No. 163 schreibt: Schwierig war es dagegen, auf die Konstruktion dieser Folge zu kommen, und das Verdienst dafür gebührt Marbin. Er hat es entdeckt, wie es geht.
Gruß Buri

Ich habe das hier gefunden: Ask Dr. Math

Mein Verdienst ist eher klein, aber was anderes habe ich auch nie behauptet. Dort in der Beweisskizze wird unter anderem das "Pigeonhole principle" (Schubfachprinzip) benutzt sowie, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind. Es wird jedoch keine geschlossene Form angegeben.  

Ich halte einen Beweis der anfänglich in diesem Thread geäußerten Vermutung nicht für völlig unmöglich. Zumindest haben wir zwei Werkzeuge zur Verfügung. Mit dem einen können wir uns von vorne nach hinten arbeiten, mit dem anderen von hinten nach vorne.


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"I'm an explorer okay, I get curious about everything and I want to investigate all kinds of stuff." (Richard Phillips Feynman)



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.165, eingetragen 2018-02-09

\(\begingroup\)
Ich habe jetzt für mich selbst noch zwei Funktionen $A$ und $B$ konstruiert, welche mit dem Thema, welches Marbin hier angeschnitten hat, eng zusammenhängen. $A(n)$ gibt dabei für ein $n\in \mathbb N$ die Anzahl aller Exponenten $\le n$ von Zweierpotenzen an, welche in Dezimaldarstellung mit $5$ beginnen und $B(n)\ (n\in \mathbb N^*)$ gibt das $n$-te Glied in der aufsteigend geordneten Exponentenfolge dieser Zweierpotenzen an. Die zugrundeliegenden Formeln sind

$A(n)=\sum\limits_{k=0}^n 0^{1+\text{sign}((< k\lg 2>-\lg 5)(< k\lg 2>-\lg 6))}$ bzw. $B(n)=\sum\limits_{m=0}^{13n}(1-\left\lfloor\frac{A(m)}n\right\rfloor)$

Dabei bezeichnet $<x>$ den Nachkommateil einer reellen Zahl $x\ge0$ (gibt es dafür eigentlich eine einheitliche Bezeichnung?) und wie üblich ist auch hier wieder $0^0:=1$.

Im Gegensatz zur Funktion $A(n)$, welche erstaunlich flott ist, ist $B(n)$ erwartungsgemäß sehr langsam, aber sie dürften beide funktionieren (s.u.)! Ich hätte vorher nicht für möglich gehalten (und habe das speziell für $B(n)$ auch an einer Stelle hier so gesagt!), dass es solche Funktionen - besser gesagt, solche "geschlossene" und dann auch noch so kurze(!) Formeln dafür wie die obigen - überhaupt geben könnte. Damit habe ich mich also dann gewissermaßen selbst widerlegt!  biggrin
 
Maple
A:=n->add(0^(1+signum((frac(k*log10(2))-log10(5))*(frac(k*log10(2))-log10(6)))),k=0..n):
 
t:=time():A(10^4),(time()-t)*'s'
                         791, 27.656 s
 
B:=n->add(1-floor(A(m)/n),m=0..13*n):
 
t:=time():[seq(B(m),m=1..20)],(time()-t)*'s'
[9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162,
  172, 195, 205, 215, 225, 235], 255.703 s
 
t:=time():select(n->is(convert(2^n,base,10)[-1]=5),{$0..240}),(time()-t)*'s'
 
{9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162,
  172, 195, 205, 215, 225, 235}, 0.032 s
\(\endgroup\)


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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.166, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
Hi weird,

ich denke in der LaTeX-Darstellung von \(A(n)\) befindet sich ein Klammerfehler im Exponent.


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\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.167, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
2018-02-10 11:26 - Marbin in Beitrag No. 166 schreibt:
ich denke in der LaTeX-Darstellung von \(A(n)\) befindet sich ein Klammerfehler im Exponent.

Ja danke, hab's oben editiert und es sollte jetzt stimmen.  wink

 
\(\endgroup\)


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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.168, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
Könnte man nicht vereinfacht sagen, eine Zweierpotenz \(2^{k}\) mit \(k\in \mathbb{N}_{0}\) beginnt genau dann in Dezimaldarstellung mit einer 5, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist?

$\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}$
$\newcommand{\frac}{\mathop{\mathrm{frac}}}$

\[\sgn \left (\left (\left \{ k\cdot \lg (2) \right \}-\lg (5)  \right )\cdot \left ( \left \{ k\cdot \lg (2) \right \}-\lg (6) \right )  \right )=-1,\]
wobei

\[\sgn (x):=\left\{\begin{matrix}
+1~\text{falls}~x>0\\
0~\text{falls}~x=0\\
-1~\text{falls}~x<0
\end{matrix}\right.\]
und \(\left \{ x \right \}:=\frac (x)\)




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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.169, eingetragen 2018-02-10


Hallo,

da das Interesse an dem Thread sehr groß zu sein scheint, möchte ich auch nochmal kurz was dazu schreiben.

Es freut mich, dass weird dazu zwei Funktionen formuliert hat (die letztlich eine Formel bilden), mit deren Hilfe genau die Zweierpotenzen, die mit 5 beginnen, gefunden werden können. Das finde ich auf jeden Fall faszinierend.

Um das Thema vielleicht für ein noch größeres Publikum interessant zu machen, hab ich den Maple-Code aus Beitrag #165 mal nach Mathematica portiert:
Mathematica
Unprotect[Power];
Power[0, 0] := 1;
Protect[Power]; 
A[n_] := Sum[
  0^(1 + Sign[(FractionalPart[k*Log[10, 2]] - 
         Log[10, 5])*(FractionalPart[k*Log[10, 2]] - 
         Log[10, 6])]), {k, 0, n}]
B[n_] := Sum[1 - Floor[A[m]/n], {m, 0, 13*n}]
FiveQ[n_] := IntegerDigits[2^n][[1]] == 5
 
Timing[A[10^4]]
Timing[Table[B[m], {m, 1, 20}]]
Timing[Select[Table[n, {n, 0, 240}], FiveQ]]
Ergebnisse:
Mathematica
{2.21875, 791}
{31.375, {9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 
  162, 172, 195, 205, 215, 225, 235}}
{0., {9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162, 
  172, 195, 205, 215, 225, 235}}

LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.167 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.170, eingetragen 2018-02-10


Hi Marbin & weird,
ich glaube, es führt nicht weiter, wenn die Bedingung, dass die führende Ziffer einer 2er-Potenz 5 lautet, ohne Ende äquivalent umgeformt und zur Summenbildung verwendet wird usw., mit der Signumfunktion und Nullpotenzierung und allen möglichen Tricks, die doch nur auf eine einfache if-Anweisung hinauslaufen.
Diese Umformungen liefern außer trivialen Tests keine neuen Erkenntnisse, interessanter ist dagegen schon die Betrachtung von Produkten wie im Beitrag #127 und anderen.
Gruß Buri


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.168 begonnen.]



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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.171, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
Ja, Buri, das mag sein. Wollte abschließend noch erwähnen, dass man die Signumfunktion und Nullpotenzierung auch weglassen kann, was dann folgende Ungleichung ergibt:

\[\left \{ k\cdot \lg(2)  \right \}\cdot \lg(30)-\left \{ k\cdot \lg(2)  \right \}^{2}>\lg(5)\cdot \lg(6).\]


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\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.172, eingetragen 2018-02-10


2018-02-10 14:53 - Marbin in Beitrag No. 171 schreibt:
... was dann folgende Ungleichung ergibt ...
Hi Marbin,
das ist zu kompliziert. Tests können auch mit Und verknüpft werden, es genügt also, {k lg 2} > lg 5 && {k lg 2} < lg 6 zu schreiben, man braucht sich nicht unnötig zu verrenken.
Gruß Buri



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.173, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
Jetzt habt ihr die unglaubliche Erkenntnis formuliert, dass eine Zweierpotenz mit einer Ziffer 5 beginnt, wenn diese erste Ziffer gleichzeitig $\geq 5$ und $<6$ ist...

Cyrix
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.175, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
2018-02-10 15:15 - cyrix in Beitrag No. 173 schreibt:
Jetzt habt ihr die unglaubliche Erkenntnis formuliert, dass eine Zweierpotenz mit einer Ziffer 5 beginnt, wenn diese erste Ziffer gleichzeitig $\geq 5$ und $<6$ ist...

Cyrix

Ja danke, du hast das eben wunderbar auf den Punkt gebracht: Was Buri da seit einiger Zeit macht - eigentlich seit seinem Beitrag #170 - ist einfach, dass er meine Formel immer mehr "aufdröselt" bis man dann zum Schluss wohl bei dem landet, was du oben geschrieben hast. Dies zeigt mir aber ganz klar, dass er etwas ganz Grundlegendes hier nicht verstanden hat: Mein Ziel war eben kein "Algorithmus", welcher mir alle Exponenten von Zweierpotenzen mit Anfangsziffer 5 liefert, ich wollte eine "geschlossene Formel", wie sich Marbin einmal ausdrückte, die genau das macht.

Nun kann man ja darüber diskutieren, was in einer solcher Formel alles "erlaubt" ist und was nicht, if-Abfragen oder noch aufwändigere Konstrukte von üblichen Porgrammiersprachen sind es jedenfalls nicht. Ich hätte mir sicher nicht die Mühe gemacht, eine Formel für eine Routine, welche mir gerade mal die ersten 20 Exponenten mit der angesprochenen Eigenschaft in sage und schreibe 256s auf meinem Computer liefert, wenn ich das auch in 32 ms haben kann (s. das Programm in #165). Das sollte doch eigentlich einleuchten oder nicht?  confused
\(\endgroup\)


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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.178, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
Hallo,

um die Darstellbarkeit als "geschlossene Formel" nochmals hervorzuheben, um die es hier geht, möchte ich noch ergänzen, dass man die beiden Funktionen A(n) und B(n) aus Beitrag #165 bzw. #169 auch zusammenfassen und wie folgt "in einem Rutsch" formulieren kann:
Mathematica
B[n_] := Sum[1 - Floor[Sum[0^(1 + Sign[(FractionalPart[k*Log[10, 2]] - 
         Log[10, 5])*(FractionalPart[k*Log[10, 2]] - Log[10, 6])]), 
         {k, 0, m}]/n], {m, 0, 13*n}]
Timing[Table[B[n], {n, 1, 20}]]
Ergebnis:
Mathematica
{28.2188, {9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 
  162, 172, 195, 205, 215, 225, 235}}

In der Formulierung von B(n) kommen sozusagen nur mathematische Operatoren und Konstrukte vor und keine rein algorithmischen Konstrukte wie if-Abfragen oder dergleichen, d. h. die dort verwendeten Funktionen haben alle eine Entsprechung als mathematische Ausdrücke bzw. Symbole:

Sum entspricht $\sum$
Floor entspricht $\lfloor~\rfloor$
Sign entspricht $sgn$ (meines Wissens)
FractionalPart entspricht $<~>$
Log entspricht $lg$
+ - * / und ^ sind selbsterklärend
Ansonsten kommen noch Zahlen und runde Klammern vor.
Der Rest sind lediglich Summenvariablen und Summenvariablengrenzen.

LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.175 begonnen.]
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.179, eingetragen 2018-02-10


2018-02-10 16:48 - Primentus in Beitrag No. 178 schreibt:
In der Formulierung von B(n) kommen sozusagen nur mathematische Operatoren und Konstrukte vor und keine rein algorithmischen Konstrukte wie if-Abfragen oder dergleichen, d. h. die dort verwendeten Funktionen haben alle eine Entsprechung als mathematische Ausdrücke und Symbole.

Vielen Dank, Primentus, für deine tollen Übersetzungen meiner Programme in Mathematica, die ich ja schon seit unserer Zusammenarbeit mit einer ähnlich aufgebauten Primzahlformel kennen und schätzen lernen durfte.  wink

Da Buri ja auch zur sog. "Mathematica-Fraktion" hier gehört, hat er damit jetzt auch die Chance, sich das Ganze auf seinem Rechner noch einmal in Ruhe anzusehen, um zu begreifen, was denn eigentlich meine Intention war, die er oben so gründlich missverstanden hat.  eek

PS: Erstaunlich auch, dass dein Programm für die gleichen Aufgaben doch deutlich schneller ist. Ich hoffe, daran ist jetzt nur schuld, dass mein Rechner mittlerweile doch schon mehr als 5 Jahre auf "dem Buckel hat", und nicht irgendein Programmierfehler meinerseits. Auch bin ich hinsichtlich der Maple-Version (2015) nicht mehr so ganz up-to-date.  



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.180, eingetragen 2018-02-10


@weird:

Gern geschehen - ich bin mittlerweile ganz gut geübt darin, Maple-Code in Mathematica-Code umzuwandeln. wink

Ja, meine recht schnellen Berechnungszeiten sind darauf zurückzuführen, dass ich mittlerweile einen schnelleren Rechner mit aktueller Mathematica-Version habe (vorher alter Rechner mit ziemlich alter Mathematica-Version). Bei vielen Funktionsaufrufen macht das doch eine deutliche Beschleunigung gegenüber den früheren Berechnungszeiten aus. Keine Sorge, Dein Rechner arbeitet sicherlich noch ganz normal, nur möglicherweise hat mein neuer Rechner Deinen etwas älteren Rechner in Sachen Geschwindigkeit eingeholt im Vergleich zu meinem alten System.

LG Primentus



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.181, eingetragen 2018-02-10


2018-02-10 16:48 - Primentus in Beitrag No. 178 schreibt:
... keine rein algorithmischen Konstrukte wie if-Abfragen ...
Hi Primentus,
ich verstehe nicht, wieso du und weird die if-Funktion als Formelbestandteil so entschieden ablehnen, und wo ich da etwas mißverstanden haben soll.
Man kann die if-Funktion in üblichen Fällen durch mehrere Signumfunktionen darstellen.
Die Nullpotenzierung ist nicht erforderlich, es geht auch mit der Signumfunktion allein.
Das Multiplizieren der Logarithmen-Differenzen vor der Signumbildung ist nicht nötig, man kann auch die Konstruktion
Mathematica
(1+Sign[FractionalPart[k/Log[10,2]-Log[10,5]]])
  *(1+Sign[FractionalPart[Log[10,6]-k/Log[10,2]]])
benutzen.
Wir schweifen jetzt vom Thema ab, und ich möchte gern zu den eigentlichen Problemen zurückkehren.
Gruß Buri



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Primentus
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2018-02-10 17:30 - Buri in Beitrag No. 181 schreibt:
Man kann die if-Funktion in üblichen Fällen durch mehrere Signumfunktionen darstellen.

Hallo Buri,

aha, da würde mich schon mal interessieren, wie das dann genau aussieht. Aber eine if-Funktion kommt in der Funktion B(n) zum Glück eh nicht vor.
Aber natürlich kann auch gern wieder über das eigentliche Thema des Threads diskutiert werden. Aber diese Darstellbarkeit als Formel finde ich halt schon immer etwas sehr schönes.

LG Primentus

Edit:
Ach so, Du meinst wahrscheinlich so eine Fallunterscheidung in der Art sgn(a, b)=1 wenn a < b, sgn(a, b)=-1, wenn a > b und sgn(a, b)=0, wenn a = b. Aber das kriegt man halt nicht in geschlossener Form in den Formelausdruck mit hinein, sondern das sind dann eher Nebenbedingungen, die separat angegeben werden müssen. Und genau diese separaten Aufsplittungen sollen hier ja eben vermieden werden, wenn man eine geschlossene Formel sucht.



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Buri
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2018-02-10 17:47 - Primentus in Beitrag No. 179 schreibt:
... würde mich schon mal interessieren, wie das dann genau aussieht ...
Hi Primentus,
das ist trivial, und es gibt nicht viel zu erklären.
Ein if-Funktionsaufruf if(x > 0, a, b) ist äquivalent zu
fed-Code einblenden
wobei wir voraussetzen (zum Beispiel wegen Irrationalität), dass x nicht den Wert 0 annimmt.
Die Darstellung mit der if-Funktion ist einfacher und übersichtlicher, und daher verdient sie es nicht, als Bestandteil einer geschlossenen Formel ausgeschlossen zu werden.
In Programmiersprachen wie C, Java und Mathematica kann man mit dem Falloperator ?...: oder mit der If-Funktion bedingte Ausdrücke als Bestandteile von Formeln angeben, dazu ist keine Steueranweisung (if-Anweisung mit Programmverzweigung) erforderlich.
Gruß Buri



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Primentus
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2018-02-10 19:00 - Buri in Beitrag No. 180 schreibt:
Ein if-Funktionsaufruf if(x > 0, a, b) ist äquivelent zu
fed-Code einblenden
wobei wir voraussetzen (zum Beispiel wegen Irrationalität), dass x nicht den Wert 0 annimmt.

Hallo Buri,

ok, diese Umschreibung der if-Anweisung sieht dann doch sehr mathematisch aus, das muss ich zugeben.

2018-02-10 19:00 - Buri in Beitrag No. 180 schreibt:
In Programmiersprachen wie C, Java und Mathematica kann man mit dem Falloperator ?...: oder mit der If-Funktion bedingte Ausdrücke als Bestandteile von Formeln angeben

Der Falloperator "?" überzeugt mich jetzt zwar weniger als mathematischer Bestandteil, weil ich finde, dass das eher ein programmiertechnisches Konstrukt als ein mathematisches Symbol ist, aber obenstehenden Signum-Ausdruck könnte man in der Tat gelten lassen. Diesen Alternativausdruck zur if-Anweisung kannte ich jedenfalls noch nicht. Danke für die Erklärung. Fühlt sich allerdings noch ein bisschen ungewohnt für mich an, ein "if" in einer Formel zu haben.

LG Primentus



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Marbin
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2018-02-10 14:25 - Buri in Beitrag No. 170 schreibt:
interessanter ist dagegen schon die Betrachtung von Produkten wie im Beitrag #127 und anderen.

Hi Buri, hast du dazu schon weiter führende Ideen?
Die Idee, die führende und vorletzte Stelle einer Zweierpotenz in Dezimaldarstellung zu untersuchen, rührt letztlich daher (zumindest von meiner Seite), weiter zu überlegen, wie sich dann das Produkt dieser Zweierpotenzen verhält, wenn es mit sich selbst oder mit anderen Zweierpotenzen multipliziert wird.


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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.183, eingetragen 2018-02-11

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Nun, dann möchte ich einen vielleicht noch neuen Ansatz einbringen...
Sei \(n\in \mathbb{N}_{0}\), dann wissen wir, dass \(2^{20\cdot n+8}\) in Dezimaldarstellung immer mit ...256, ...456, ...656, ...856, ...056, ...256 usw. endet und \(2^{20\cdot n+21}\) immer mit ...152, ...552, ...952, ...352, ...752, ...152 usw. Daraus kann man leicht erkennen, dass \(2^{100\cdot n+9}\) immer mit ...512 endet und \(2^{100\cdot n+102}\) immer mit ...504.
Die Wahrscheinlichkeit, eine 5 in den letzten Ziffern in Dezimaldarstellung aufzufinden, ist also relativ gering. Ebenso wissen wir bereits, dass die Wahrscheinlichkeit, die 5 in den ersten Ziffern in Dezimaldarstellung aufzufinden, ebenso gering ist. Deshalb hier meine Fragestellung. Gibt es in Dezimaldarstellung einer Zweierpotenz "Aufenthaltsorte", an denen die Wahrscheinlichkeit maximal wird, eine 5 aufzufinden?





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querin
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Hallo Marbin

2018-02-11 16:51 - Marbin in Beitrag No. 183 schreibt:
Deshalb hier meine Fragestellung. Gibt es in Dezimaldarstellung einer Zweierpotenz "Aufenthaltsorte", an denen die Wahrscheinlichkeit maximal wird, eine 5 aufzufinden?

Ich verstehe nicht wie die Information einer maximalen Wahrscheinlichkeit helfen würde, die Endlichkeit der 5-freien Zweierpotenzen zu zeigen. Es bliebe doch immet nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage?



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weird
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2018-02-11 16:51 - Marbin in Beitrag No. 183 schreibt:
Nun, dann möchte ich einen vielleicht noch neuen Ansatz einbringen...
Sei \(n\in \mathbb{N}_{0}\), dann wissen wir, dass \(2^{20\cdot n+8}\) in Dezimaldarstellung immer mit ...256, ...456, ...656, ...856, ...056, ...256 usw. endet und \(2^{20\cdot n+21}\) immer mit ...152, ...552, ...952, ...352, ...752, ...152 usw. Daraus kann man leicht erkennen, dass \(2^{100\cdot n+9}\) immer mit ...512 endet und \(2^{100\cdot n+102}\) immer mit ...504.

Das stimmt zwar alles, aber ich würde das doch etwas präzisieren wollen. Richtig ist jedenfalls, dass die Zweierpotenzen, wenn sie in den letzten zwei Ziffern - faktisch dann also in der vorletzten Ziffer - eine 5 enthalten, entweder auf 52 oder 56 enden müssen. Da mit Ausnahme von $2^0$ und $2^1$ jede Zweierpotenz auf eine der folgenden 20 zweiziffrigen Kombinationen

$04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52$

endet, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür also dann $1/10$.

Ich verstehe also nicht, warum du die 3 letzten Ziffern hier betrachtest. Diese müsste man sich ja nur dann genauer ansehen, wenn man die Wahrscheinlichkeit berechnen will, dass die drittletzte Ziffer eine $5$ ist. Hier hat man, wieder mit einigen Ausnahmen zu Beginn, nämlich für $n=0,1,2$, dass jede Zweierpotenz $2^n$ eine der folgenden 100 dreiziffrigen Endungen hat:

$008,016,024,032,048,056,064,072,088,096,104,112,128,136,144,152,168,176, 184,192,208,216,224,232,248,256,264,272,288,296,304,312,328,336,344,352, 368,376,384,392,408,416,424,432,448,456,464,472,488,496,504,512,528,536, 544,552,568,576,584,592,608,616,624,632,648,656,664,672,688,696,704,712, 728,736,744,752,768,776,784,792,808,816,824,832,848,856,864,872,888,896, 904,912,928,936,944,952,968,976,984,992$

Darunter sind dann genau die 10 dreiziffrigen Endungen

$504,512,528,536,544,552,568,576,584,592$

welche mit $5$ beginnen, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass die drittletzte Ziffer $5$ ist, wiederum $1/10$ beträgt. Ich habe diese Wahrscheinlichkeit auch noch für die viertletzte Ziffer berechnet und dafür $49/500$, also einen geringfügig kleineren Wert bekommen, falls ich mich nicht vertan habe. Ich habe danach nicht mehr weitergemacht, aber es scheint mir plausibel zu sein, dass alle diese Wahrscheinlichkeiten für die Ziffern am "rechten Ende" einer Zweierpotenz - die Einerziffer ausgenommen - nahe bei $0.1$ liegen.

Was das "linke Ende" einer Zweierpotenz, also dann die führende Ziffern betrifft, so ist wieder die allererste Ziffer ein "krasser Ausreißer" mit der Wahrscheinlichkiet $\lg(6/5)\approx 0.079$, dass sie $5$ beträgt, für die 2.Ziffer ist sie dann

$\lg(\frac{16}{15}\cdot\frac{26}{25}\cdot\frac{36}{35}\cdot\frac{46}{45}\cdot\frac{56}{55}\cdot\frac{66}{65}\cdot\frac{76}{75}\cdot\frac{86}{85}\cdot\frac{96}{95})\approx 0.08885$

für alle weiteren führenden Ziffern liegt diese ähnlich berechnete Wahrscheinlichkeit dann schon sehr nahe bei $0.1$, wenngleich immer leicht unterhalb.


Die Wahrscheinlichkeit, eine 5 in den letzten Ziffern in Dezimaldarstellung aufzufinden, ist also relativ gering. Ebenso wissen wir bereits, dass die Wahrscheinlichkeit, die 5 in den ersten Ziffern in Dezimaldarstellung aufzufinden, ebenso gering ist. Deshalb hier meine Fragestellung. Gibt es in Dezimaldarstellung einer Zweierpotenz "Aufenthaltsorte", an denen die Wahrscheinlichkeit maximal wird, eine 5 aufzufinden?

Nach meinen bisherigen Rechnungen würde ich dies Frage - wie gesagt, mit der expliziten Ausnahme der Einerziffer und der führenden Ziffer, sowie auch noch der zweiten führenden Ziffer - dann eigentlich verneinen, was meiner Meinung nach auch heuristisch gesehen plausibel ist. Wenn das stimmt, so hätte man dann mit Ausnahme dieser drei Positionen annähernd eine geometrische Verteilung mit $p=1/10$ und Erwartungswert $10(=1/p)$ für die Anzahl der "Versuche" eine $5$ zu bekommen.
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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.186, eingetragen 2018-02-13

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Hi weird,

du hast recht. Die Wahrscheinlichkeiten liegen immer nahe bei 0,1 soweit ich es bis jetzt nachgerechnet habe, und es ist auch nicht viel anderes zu erwarten.

PS: Es gibt von \(2^{16}\) bis \(2^{500}\) 49 Zweierpotenzen, deren viertletzte Zahl in Dezimaldarstellung eine 5 ist. \(2^{503}\) liefert dann die 50. solcher Zweierpotenzen. Sie endet mit ...5008.

Ich habe auch mal alle Darstellungsformen von Zweierpotenzen bestimmt, deren drittletzte Zahl in Dezimaldarstellung eine 5 ist, \(n\in \mathbb{N}_{0}\):

\[2^{100\cdot n+102}~~\text{endet mit}~...504\] \[2^{100\cdot n+9}~~\text{endet mit}~...512\] \[2^{100\cdot n+87}~~\text{endet mit}~...528\] \[2^{100\cdot n+16}~~\text{endet mit}~...536\] \[2^{100\cdot n+78}~~\text{endet mit}~...544\] \[2^{100\cdot n+41}~~\text{endet mit}~...552\] \[2^{100\cdot n+75}~~\text{endet mit}~...568\] \[2^{100\cdot n+20}~~\text{endet mit}~...576\] \[2^{100\cdot n+94}~~\text{endet mit}~...584\] \[2^{100\cdot n+33}~~\text{endet mit}~...592\]


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.187, eingetragen 2018-02-13

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Ich denke auch, die Wahrscheinlichkeit, dass die \(k\)-letzte Stelle einer Zweierpotenz in Dezimaldarstellung eine 5 ist, ist immer genau \(\frac{1}{10}\), wenn wir die Periode bis \(4\cdot 5^{k-1}+k-1\) für \(k>1\) betrachten, siehe hierzu auch Cyrix' Beitrag No. 38.


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2018-02-13 20:27 - Marbin in Beitrag No. 187 schreibt:
Ich denke auch, die Wahrscheinlichkeit, dass die \(k\)-letzte Stelle einer Zweierpotenz in Dezimaldarstellung eine 5 ist, ist immer genau \(\frac{1}{10}\), wenn wir die Periode bis \(4\cdot 5^{k-1}+k-1\) für \(k>1\) betrachten, siehe hierzu auch Cyrix' Beitrag No. 38.

Hm, mit meinen oben angegeben Periodenlängen, nämlich $20$ für $k=2$, 100 für $k=3$ und $500$ (wenngleich nur indirekt) für $k=4$, komme ich da auf ganz andere Werte für die Periodenlängen. Ich habe mir die von dir zitierte Stelle, nämlich

2018-01-14 23:39 - cyrix in Beitrag No. 38 schreibt:
Ein Versuch, über die letzten k Stellen zu argumentieren, wird schief gehen: Die Periode, mit der sich die letzten k Stellen wiederholen, ist exponentiell in k (genauer: 4*5^{k-1}), wobei jede neue Stelle wohl nur jeweils ca. 1/10 der übrig gebliebenen Kandidaten erledigt.

daraufhin noch einmal angesehen und damit stimmen meine Werte dann auch total überein.  

Edit: Habe gerade gesehen, dass du deinen Beitrag oben editiert hast. Und ja, du hast Recht, was die viertletzte Ziffer betrifft. Der periodische Teil beginnt bei $2^4$ (nicht $2^{16}$, was aber vermutlich nur ein Tippfehler bei dir ist!) und endet tatsächlich bei $2^{503}$, was also dann nach Auszählung die $50$ Treffer

$5008,5024,5056,5072,5088,5104,5136,5152,5168,5184,5216,5232,5248,5264, 5296,5312,5328,5344,5376,5392,5408,5424,5456,5472,5488,5504,5536,5552, 5568,5584,5616,5632,5648,5664,5696,5712,5728,5744,5776,5792,5808,5824, 5856,5872,5888,5904,5936,5952,5968,5984$

ergibt. Irgendwie hatte ich da oben also einen verloren, wobei ich nicht mehr rekonstruieren kann, wie das genau passiert ist.  eek
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