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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Dieselmotor
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Universität/Hochschule J Dieselmotor
Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13

\(\begingroup\)
Guten Tag,

man betrachte ein ideales Gas, dass folgenden thermodynamischen Kreisprozess durchläuft:

1 -> 2: adiabat
2 -> 3: isobar
3 -> 4: adiabat
4 -> 1: isochor

Es handelt sich hierbei um den Diesel-Kreisprozess pV-Diagramm:

Zu dem soll gelten: \(V_1=\alpha V_2\) und \(V_3=\beta V_2\)

a) Stellen Sie die Temperatur \(T_1,T_2,T_3\) als FUnktion von \(T_4,\alpha,\beta\) dar.


Idee:
Erst einmal alle Relationen aufschreiben die gelten
$$ \text{(1)}: V_1 = \alpha V_2 \qquad  \text{(2)}: V_3 = \beta V_2 \qquad \text{(3)}: V_1 =V_4 \qquad \text{(4)}:p_2 = p_3 $$

und

\[\text{(5)}: T_1 V_1 ^{\gamma -1}  =T_2 V_2 ^{\gamma -1}  \qquad  \text{(6)}: T_3 V_3 ^{\gamma -1}  =T_4 V_4 ^{\gamma -1}\]

Ist diese Aufgabe lösbar? Ich erkenne keine
Abhängigkeit von \((T_1,T_2)\) von \((T_3,T_4)\).


Gruß
Miradius
\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-13


Hi, das lässt sich einfach beheben: den Zusammenhang der Temperaturen bekommst du über die Beziehungen der Volumina  wink . Weiterhin hast du natürlich noch die ideale Gasgleichung in jedem Punkt. Zeig dann mal, wie weit du mit deinen Rechnungen gekommen bist.



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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Guten Abend Kornkreis,

danke für deine Antwort.

Gleichung (1) in (5) eingesetzt, sowie Gleichungen (1)(2)(3) in (6) ergibt die beiden freien Gleichungen

$$T_2=T_1 \alpha ^{\gamma -1} \quad \land \quad T_3 = T_4 (\frac{\alpha}{\beta})^{\gamma -1} $$


den Zusammenhang der Temperaturen bekommst du über die Beziehungen der Volumina

$$ T_1 V_1^{\gamma -1} = T_2 V_2 ^{\gamma -1}  = T_2 (\frac{V_3}{\beta})^{\gamma -1} \overset{(6)}{=}T_2\frac{T_4}{T_3} (\frac{V_4}{\beta})^{\gamma -1} \dots  $$

Durch deinen Hinweis erhält man eine \(T_4\) Abhängigkeit. Wie man die andere Größen eliminiert sehe leider nicht...
\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
2018-01-13 20:08 - Miradius in Beitrag No. 2 schreibt:
$$T_2=T_1 \alpha ^{\gamma -1} \quad \land \quad T_3 = T_4 (\frac{\alpha}{\beta})^{\gamma -1} $$
Das passt! Jetzt musst du noch die ideale Gasgleichung benutzen: Wegen $p_2=p_3$ gilt $1/\beta=V_2/V_3=T_2/T_3$ und du kannst die obigen Gleichungen verknüpfen.
\(\endgroup\)


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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Mit


Wegen $p_2=p_3$ gilt $1/\beta=V_2/V_3=T_2/T_3$

folgt

$$ T_1 V_1^{\gamma -1} = T_2\frac{T_4}{T_3} (\frac{V_4}{\beta})^{\gamma -1}  = \frac{T_4}{\beta^\gamma} V_4^{\gamma -1}  $$

Umstellen und Gleichung (1),(2) einsetzen gibt

$$ T_1 = T_4 (\frac{1}{\alpha \beta})^{\gamma - 1} (\frac{V_4}{V_3})^{\gamma -1} $$

Mit Gleichung (6) und \(T_3 = T_4 (\frac{\alpha}{\beta})^{\gamma -1}\) folgt:

$$ T_1 = \frac{T_4}{\alpha^{2\gamma -2}}$$


Aus \(T_2=T_1 \alpha ^{\gamma -1}\) erhält man die letzte Gleichung

$$ T_2= \frac{T_4}{\alpha^{\gamma -1}} $$

Ist das korrekt?

\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
$$ T_1 V_1^{\gamma -1} = T_2\frac{T_4}{T_3} (\frac{V_4}{\beta})^{\gamma -1}  = \frac{T_4}{\beta^\gamma} V_4^{\gamma -1}  $$

Wegen $V_1=V_4$ ergibt dies allerdings $T_1=T_4/\beta^\gamma.$  Außerdem brauchst du nicht die Volumina wieder ins Spiel zu bringen, die drei Gleichungen aus Beitrag No. 3 genügen schon:

Du hattest $T_3(T_4,\alpha,\beta)$ und $T_2=T_3/\beta,$ weiterhin $T_1=T_2\cdot \alpha^{1-\gamma}.$ Daraus folgen die gewünschten Gleichungen sofort.
\(\endgroup\)


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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15


Danke für deine Hilfe!



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