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Analysis » Funktionen » Axiomatische Charakterisierung der allgemeinen Exponentialfunktion
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Universität/Hochschule Axiomatische Charakterisierung der allgemeinen Exponentialfunktion
Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13


Hallo liebe Leute, ich hänge bei einer wirklich interessant klingenden Aufgabe, die ich doch irgendwie doch gerne schaffen würde:
fed-Code einblenden
So sonderlich weit komm ich da nicht. Für n Element aus den natürlichen Zahlen, schaff ich den Beweis noch durch Vollständiger Induktion, nur dann weiß ich wirklich nicht wie ich auf die anderen Zahlenmengen kommen soll.
Mit der Bitte um Hilfe und schonmal danke im Voraus,
Mathsman.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Also nach ein bisschen Nachdenken komm ich jetzt zum auf folgende Idee. Für Z substituiere ich einfach a mit 1/u und kann dann wahrscheinlich argumentieren, dass das auch für Z gilt. Nur wie mache ich dann weiter?
LG Mathsman



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-13


Hallo Mathsman,

2018-01-13 18:49 - Mathsman in Beitrag No. 1 schreibt:
Für Z substituiere ich einfach a mit 1/u und kann dann wahrscheinlich argumentieren, dass das auch für Z gilt.

An welches Argument denkst Du hier? Dein Satz ist leider nicht verständlich.

Grüße,
dromedar



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Naja mittels Vollständiger Induktion kann man ziemlich leicht zeigen, dass die Aussage für n aus den natürlichen Zahlen gilt. Jetzt substituiere ich a durch 1/u, dann hab ich zu zeigen, f(n)=(1/u)^n = u^(-n), jetzt kann ich wieder vollständige Induktion nach n machen. Oder was mache ich da dann falsch, irgendwie klingt es für mich plausibel.
Nur wie man dann für Q, R und C argumentiert weiß ich noch immer nicht
LG Mathsman



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
2018-01-13 19:41 - Mathsman in Beitrag No. 3 schreibt:
[...] irgendwie klingt es für mich plausibel.

"Irgenwie plausibel" ist das auch, doch wäre es deutlich hilfreicher, wenn Du Dein Vorgehen mal konkret hinschreiben würdest.

Die Argumente, die einem von $n\in\Bbb N$ zu $-n$ bzw. zu $1/n$ bringen, sehen sich nämlich recht ähnlich.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Oke dann schreiben wir mal meine Gedanken zu Papier:
Also gelte die Angabe mit:
fed-Code einblenden

Für N könnte ich mittels Vollständiger Induktion anfangen:
IA: Wie in der Angabe gegeben: f(1)=a
IB: Es sei f(n)=a^n bereits so konstruiert. Wir zeigen, dass daraus auch f(n+1)=a^(n+1) folgt.
IS: f(n+1)=f(n)*f(1)=(a^n)+(a^1)=(a^(n+1)). Hierbei verwende ich Angabe IA und IB. Damit hätte ich die Behauptung für alle natürlichen Zahlen gezeigt.

Für die ganzen Zahlen, substituiere ich a mit 1/u. (Jede reelle Zahl außer die 0, die wird aber in der Angabe ausgeschlossen, lässt sich als 1/u schreiben). Dann gilt: f(n)=(1/u)^n = u^(-n). Wieder mach ich vollständige Induktion.
Das heißt:
IA: Wie in der Angabe gegeben: f(1)=(1/u)
IB: Es sei f(n)=(1/u)^n bereits so konstruiert. Wir zeigen, dass daraus auch f(n+1)=(1/u)^(n+1) folgt.
IS: f(n+1)=f(n)*f(1)=((1/u)^n)+((1/u)^1)=((1/u)^(n+1)) = u^-(n+1). Hierbei verwende ich Angabe, IA und IB. Damit hätte ich die Behauptung für alle ganzen Zahlen gezeigt. (denke ich halt confused )

So inzwischen hab ich ein bisschen weiter gedacht:
In meinen Vorlesungsunterlagen hab ich 2 ganz interessante Sätze gefunden, die mir glaub ich durchaus weiterhelfen könnten, bei meiner Argumentation.
1.) x^r mit r aus den rationalen Zahlen ist unabhängig von der Darstellung von r als Bruchzahl.
2.) Existenz von "n-ten" Wurzeln aus komplexen Zahlen.

Könnte man eventuell mit diesen zwei Sätzen argumentieren, um f(n)=a^n mit n aus Q zu begründen? Ich bin mir wirklich nicht sicher, aber irgendwie täte ich das Beispiel doch gern irgendwie schaffen, deswegen bitte ich um Hilfe! Und wenn meine Gedanken falsch waren, bitte um Nachsicht für mein mathematisches Nichtwissen.

LG und danke an alle im Vorraus,
Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Ich würde bei den ganzen Zahlen mal
\(f(-n+n+1)=f(-n)f(n+1)\)
ansetzen und dann das Ergebnis für die natürlichen Zahlen verwenden.

Bei Q würde ich
$f(n)f(p/q)=f(n+p/q)$
ansetzen und dann ausnutzen, dass f(n) als bekanntes Ergebnis herauskommen muss. Bin mir aber nicht sicher, ob man damit auch die Eindeutigkeit hat.
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
2018-01-13 21:14 - Mathsman in Beitrag No. 5 schreibt:
Damit hätte ich die Behauptung für alle ganzen Zahlen gezeigt.

Nein, das hast Du nicht. Es kommen doch nirgendwo in Deiner Überlegung negative Argumente von $f$ vor.

Nimm zunächst mal $a\ne0$ an und zeige ...
1. $f(0)=1$, indem Du $a=f(1)=f(1+0)=f(1)\cdot f(0)$ ausnutzt.
2. $f(-n)=1/f(n)$, indem Du $1=f(0)=f(-n+n)=f(-n)\cdot f(n)$ ausnutzt.

Für den Schritt nach $\Bbb Q$ kannst Du dann die Gleichungen
a. $f(p\cdot x)=f(x)^p$ für $p\in\Bbb N$, $x\in\Bbb R$,
b. $f(p/p)=f(1)=a$
heranziehen.
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
@Dromedar: Meinst du $x\in \IQ$ ??
Weil sonst bringt mich die Formel in a. doch nicht wirklich weiter denn px ist dann nicht in $\IZ$.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Oke danke digerdiga, also versuch ich es noch einmal, inwieweit ich es verstanden hab:
Laut Angabe muss gelten: f(-n+(n+1)) = f(-n)*f(n+1)= f(-n)*(a^n)*(a^1)=f(1)
Aus der Angabe wissen wir weiters: f(1)=a. Das heißt wir können kürzen:
f(-n)*(a^n)=1 -> f(-n)=(a^-n).
Für Q folgt dann:
f(n)*f(p/q)=f(n+p/q) = a^(n+p/q) = (a^n)*(a^(p/q))=(a^n)*f(p/q)
Wir wissen, dass für alle n aus den ganzen Zahlen gelten muss:
f(n)=a^n
Also können wir kürzen: (a^n)*(a^(p/q))=(a^n)*f(p/q) -> f(p/q)=a^(p/q).
Mit dem Satz hätte ich dann auch die Eindeutigkeit: 1.) x^r mit r aus den rationalen Zahlen ist unabhängig von der Darstellung von r als Bruchzahl.

Passt das dann so? Und vor allem wie komm ich weiter nach R?
LG und danke für die Hilfe an euch beide.
Mathsman

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Ich meinte das so, dass $f(n)=a^n = f(n+p/q)/f(p/q)$ mit dem Ansatz $a^{p/q}=f(p/q)$ tatsächlich eine Lösung ist. Allerdings ist nicht ausgeschlossen, dass es vielleicht noch eine andere Lösung gibt, die das erfüllt. Daher ist wohl besser $f(p)=f(q \cdot p/q)=f(p/q)^q$ anzusetzen.
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-13


2018-01-13 22:09 - Mathsman in Beitrag No. 9 schreibt:
f(n)*f(p/q)=f(n+p/q) = a^(n+p/q)

Für das zweite "=" fehlt eine Begründung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


PS  Dir jetzt abwechselnd von zwei Seiten zu antworten ist nicht sinnvoll, ich verschwinde daher aus diesem Thread.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Oke dann mach ich so weiter:
f(p) = a^p = f(q*p/q) = f(p/q)^q
Daraus folgt dann:
a^p = = f(p/q)^q
und dann auf das was wir haben wollen, nämlich:
a^(p/q)=f(p/q).
Jetzt hab ich aber eine Frage, und zwar wie du auf die Beziehung:
f(q*p/q) = f(p/q)^q kommst. Entweder ich bin schon zu müde, oder ich sehs einfach nicht? confused
Und nochmals danke für die Hilfe, euch beiden, digerdiga und dromedar.
LG Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
$f(q \cdot p/q) = f\left(\underbrace{p/q + ... + p/q}_{q \, \text{mal}}\right)$
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Aja, oke das ist dann klar, danke für die schnelle Erklärung. Wie geht es nun dann weiter, wenn man reelle Zahlen im Exponenten haben will? Hab keinen Plan
wie ich da rangehen könnte?
LG Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Da bin ich mir nicht 100% sicher, aber ich denke du kannst zu einer Zahl $x\in \IR$ eine Folge $x_n \in \IQ$ konstruieren die gegen $x$ konvergiert und dann ausnutzen, dass f stetig ist.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Oha oke ich versuche mal die Idee zu verstehen:

fed-Code einblenden

Einen kleinen Ansatz versteh ich dann aber glaub ich nicht ganz, wer garantiert mir, dass es diese Folge wirklich gibt?
LG Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Naja, $\IQ$ liegt dicht in $\IR$. Also kannst du eine Folge $x_n$ finden die $x$ beliebig genau approximiert. $\IR$ ist ja gerade über all diese Cauchy-Folgen definiert, sozusagen der Abschluss von $\IQ$ in dem jede Cauchy-Folge $\in \IQ$ konvergiert.
Über die Abbildung $f:\IR \rightarrow \IR$ hast du dann eine Folge $f_n = f(x_n)$ dessen Glieder in $\IR$ liegen und die dann wegen der Stetigkeit auch eine Cauchy-Folge bildet. D.h. der Grenzwert von $f(x_n)=a^{x_n}$ muss wegen der Stetigkeit gegen $a^x$ gehen.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Genau, das haben wir ja auch als Satz gehabt: Q liegt dicht in R.
Danke für die präzise Erklärung, eigentlich ist alles in Mathe so schön logisch aufgebaut.
Meine letzte Frage bei dem Beispiel ist wie zeige ich den Punkt:
fed-Code einblenden
Wenn ich das richtig verstehe, soll man zeigen, dass das auch theoretisch für ein x aus den komplexen Zahlen gilt? Irgendwie hab ich nicht ganz überrissen, was da gemeint sein könnte.
LG Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Also $f(x)=a^x$ für $x\in \IR$.
Jetzt suchst du die analytische Fortsetzung $f_a$ auf $\IC$, d.h. $f_a(z)=f_a(x+iy)$, denn $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} f_a(z) = 0$.
Schränkst du die Funktion auf $\IR$ ein, dann setzt du $y=0$, wo gelten soll $f_a(x)=f(x)$.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Danke für die schnelle Antwort. Zu deiner Antwort, hab ich eine Frage, was ist eine analytische Fortsetzung, das haben wir garantiert noch nicht gemacht.
LG Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Die (eindeutige) holomorphe Funktion $f_a$ (bis auf an diskreten Stellen, deshalb auch oft meromorph genannt) die auf einem Gebiet in $\IC$ definiert ist, dass U umfasst auf dem $f_a(U)=f(U)$ mit einer vorgegebenen Funktion f gilt. Schau mal hier:
de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Fortsetzung
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Oke danke, wie zeigt man dann sowas? Haben das in der Vorlesung wie gesagt nicht noch gemacht. Kann auch sein, dass ich deinen vorletzten Beitrag nicht ganz verstanden habe. confused  Bitte um Nachsicht,
Mathsman



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-01-14


Wie zeigt man was?
Das muss man individuell angehen.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Ich meinte wie zeigt man, dass es genau eine analytische Funktion der geforderten Art gibt. Muss man so beginnen: Angenommen es gäbe zwei unterschiedliche analytische Funktionen derart, dass sie diese Bedingung erfüllen. Und das dann irgendwie auf einen Widerspruch führen, wobei ich den hier nicht sehe :-?.
Bitte nochmals um Hilfe,
Mathsman



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-01-14


Ich dachte es ginge dir allgemein um analytische Fortsetzungen.
Falls du noch über die Aufgabe redest: In Beitrag #19 steht ja, dass fa auf Grund der Analytizität nur die Gestalt fa(x+iy) haben kann. Auf der reellen Achse (y=0) muss sie mit f übereinstimmen. Also hast du bereits die Funktion die du suchst, weil du dann wieder nur x->z=x+iy setzen musst.



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