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Logik, Mengen & Beweistechnik » Prädikatenlogik » Semantik der Prädikatenlogik
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Universität/Hochschule Semantik der Prädikatenlogik
Cek
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13


Hallo,

ich habe ein Frage zur Semantik der Prädikatenlogik, und zwar:

fed-Code einblenden




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tactac
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-13


Nein.



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Cek
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Also das bedeutet dann einfach, dass es ein z geben könnte es muss jedoch keins geben?



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
2018-01-13 18:18 - Cek im Themenstart schreibt:
\(\forall\ x \exists\ y Rxy \rightarrow \exists\ y Ryz\)

Hallo Cek,

warum soll das gelten? Wenn R z. B. eine Ordnungsrelation < ist, bedeutet \(\forall x \exists y: x<y\), dass es kein größtest Element gibt. \(\exists y: y<z\) bedeutet aber, dass es kein kleinstes Element gibt. Das ist doch ein Unterschied.

\(\endgroup\)


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Cek
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Die Formel ist mir hier nicht wichtig, mir geht es darum, wie ich eine Variable sehen muss, wenn kein Quantor davor steht.

Bedeutet das einfach nur das es eins geben könnte es muss aber keins geben?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Nach der Definition, die im Kopf habe, wird die Semantik $M\models\phi$ nur für Sätze $\phi$, das heißt Formeln ohne freie Variablen, definiert. Du kannst die Semantik für Formeln mit freien Variablen definieren, wie du willst, aber das braucht man in der Logik nicht zu machen.
Oftmals wird eine freie Variable implizit als allquantifiziert verstanden.
\(\endgroup\)


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Cek
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Ich habe folgende Formel:
fed-Code einblenden



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-14


Ich verstehe die Frage nicht so ganz, aber vielleicht bin ich zu müde.



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dromedar
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Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-14


2018-01-14 01:55 - Cek in Beitrag No. 6 schreibt:
fed-Code einblenden

Zu dieser Frage hatte tactac vor Jahren folgende Referenz angegeben:

2015-08-10 18:28 - tactac in Beitrag No. 10 schreibt:
Bezüglich der These, freie Variablen seien implizit allquantifiziert möchte ich mal  diesen Post verlinken. Die meisten Kommentare sind auch lesenswert.



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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-14


2018-01-14 00:02 - Cek in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Formel ist mir hier nicht wichtig, mir geht es darum, wie ich eine Variable sehen muss, wenn kein Quantor davor steht.

Bedeutet das einfach nur das es eins geben könnte es muss aber keins geben?

In der Prädikatenlogik (1. Stufe) betrachtet man geschlossene Formeln deren Semantik über Interpretationen I definiert wird. I besteht aus einer Trägermenge sowie einer Deutungsabbildung, die Funktionssymbolen Funktionen auf der Trägermenge zuordnet.

Freie Variable in Formeln treten dann auf, wenn die Semantik von Quantoren definiert wird. Dazu braucht man dann zusätzlich zu I noch Variablenbelegungen, die einer freien Variablen ein Element der Trägermenge zuordnet. D.h., das die Gültigkeit Formeln mit freien Variablen nur mit einer Interpretation I plus einer Variablenbelegung bestimmt werden kann.

Im Beispiel ist die Gültigkeit von "all x ex y Rxy -> ex y Ryz" ohne Angabe einer Variablenbelegung für z nicht definiert.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-15


(2018-01-14 15:00 - Zwerg_Allwissend in <a href=viewtopic.php?
In der Prädikatenlogik (1. Stufe) betrachtet man geschlossene Formeln deren Semantik über Interpretationen I definiert wird. I besteht aus einer Trägermenge sowie einer Deutungsabbildung, die Funktionssymbolen Funktionen auf der Trägermenge zuordnet.

Freie Variable in Formeln treten dann auf, wenn die Semantik von Quantoren definiert wird. Dazu braucht man dann zusätzlich zu I noch Variablenbelegungen, die einer freien Variablen ein Element der Trägermenge zuordnet. D.h., das die Gültigkeit Formeln mit freien Variablen nur mit einer Interpretation I plus einer Variablenbelegung bestimmt werden kann.

Im Beispiel ist die Gültigkeit von "all x ex y Rxy -> ex y Ryz" ohne Angabe einer Variablenbelegung für z nicht definiert.

Hallo allerseits,
Ich kenne folgende Definition:
Die Formel F ist in der Struktur A gültig (A|=F) : <==>
Für jede Belegung h ist der Wahrheitswert von F wahr.
kurz: WA(F, h) = W

In dieser Definition darf eine Formel also auch freie Variable haben.

mfg
cx









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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-16


2018-01-15 11:00 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:
(2018-01-14 15:00 - Zwerg_Allwissend in <a href=viewtopic.php?
Hallo allerseits,
Ich kenne folgende Definition:
Die Formel F ist in der Struktur A gültig (A|=F) : <==>
Für jede Belegung h ist der Wahrheitswert von F wahr.
kurz: WA(F, h) = W

In dieser Definition darf eine Formel also auch freie Variable haben.

mfg
cx

Na ja, man kann alles Mögliche definieren. Die Frage ist nur, ob das auch sinnvoll ist. Bezgl. Deines Zitat stellt sich ja dann die Frage, wozu man überhaupt Allquantoren in der Formelsprache hat.

Woher stammt denn diese Definition?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\)
2018-01-16 13:52 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 11 schreibt:
Na ja, man kann alles Mögliche definieren. Die Frage ist nur, ob das auch sinnvoll ist. Bezgl. Deines Zitat stellt sich ja dann die Frage, wozu man überhaupt Allquantoren in der Formelsprache hat.

Woher stammt denn diese Definition?
Zum Beispiel in Definition 9.4.3 von Lectures on the Curry-Howard Isomorphism wird eine Relation $\mathcal A \models \phi$ so definiert.

Ach ja, und ohne Allquantoren in der Formelsprache kann man so etwas wie $$(\forall x.\ \phi) \to \psi$$ schlecht ausdrücken.
\(\endgroup\)


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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-16


(2018-01-16 13:52 - Zwerg_Allwissend in <a
Na ja, man kann alles Mögliche definieren. Die Frage ist nur, ob das auch sinnvoll ist. Bezgl. Deines Zitat stellt sich ja dann die Frage, wozu man überhaupt Allquantoren in der Formelsprache hat.
Woher stammt denn diese Definition?

1)
Aus einem alten Skript von Prof Schwabhäuser.
Dieser hat früher mit dem Logiker Tarski zusammengearbeitet und 2 Bücher über Modelltheorie veröffentlicht.

2)
In diesem Skript wird auch definiert:
<math>\Sigma \mbox{ } |= \alpha  </math> gdw <math>\alpha</math>  ist gültig in allen Modellen von <math>\Sigma </math>
oder etwas formaler:
<math>\Sigma \mbox{ } |= \alpha  </math> gdw Für jedes <math>\mathfrak{A}</math> mit <math>\mathfrak{A}</math> Mod <math>\Sigma </math>  ist |= <math>_\mathfrak{A} \alpha</math>
wobei definiert wird:
<math>\mathfrak{A}</math> Mod <math>\Sigma </math>  gdw Für jedes <math>\alpha </math> aus <math>\Sigma </math> ist <math>|=_\mathfrak{A} \alpha</math>
und weiter wird definiert:
<math>|=_\mathfrak{A} \alpha</math>  gdw  für jede Belegung h über <math>\mathfrak{A}</math> ist die Formel <math>\alpha</math> wahr




mfg
cx



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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
2018-01-16 17:02 - tactac in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-01-16 13:52 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 11 schreibt:
Na ja, man kann alles Mögliche definieren. Die Frage ist nur, ob das auch sinnvoll ist. Bezgl. Deines Zitat stellt sich ja dann die Frage, wozu man überhaupt Allquantoren in der Formelsprache hat.

Woher stammt denn diese Definition?
Zum Beispiel in Definition 9.4.3 von Lectures on the Curry-Howard Isomorphism wird eine Relation $\mathcal A \models \phi$ so definiert.

Ja, nach der Semantikdefinition dieses Papiers werden freie Variable wie allquantifizierte gedeutet. Ist ja auch nicht verboten. Genausogut kann man freie Variable wie existenzquantifizierte deuten. Warum eigentlich nicht, ist ja auch nicht verboten. Oder man läßt die Deutung von Formeln mit freien Variablen undefiniert - geht auch. Egal, wie man das jetzt macht - bzgl. der Deutung von geschlossenen Formeln ist das egal.  

Interessant wäre nun zu wissen, warum das in dem Papier so definiert ist. Einfach so? Dann kann man es auch weglassen. Es kann natürlich sein, daß diese Definition sinnvoll für weiteres (über die Prädikatenlogik 1. Stufe hinausgehendes) verwendet werden kann. Das müßte dann irgendwo in den folgenden 100 Seiten stehen ...
\(\endgroup\)


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