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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Durch |Sx| induzierte Matrixnorm
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Universität/Hochschule J Durch |Sx| induzierte Matrixnorm
cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13

\(\begingroup\)
Abend, ich habe da mal wieder ein kleines Problem.

Sei also \(|\cdot |\) eine beliebige Vektornorm mit  induzierter Matrixnorm , dann definiert \(|Sx|\) für reguläre Matrizen \(S\) eine weitere Vektornorm, die ebenso eine Matrixnorm induziert, zu zeigen ist nun, dass jene induzierte Norm gleich
\[||A||_S.=||SAS^{-1}||\] ist.

Das heißt also die Gleichheit zwischen
\[\sup_\limits{x\not=0} \frac{||Ax||_S}{||x||_S}\] und
\[||A||_S.=||SAS^{-1}||=\sup_\limits{x\not=0}\frac{||SAS^{-1}x||}{||x||} \] ist zu zeigen.

Ich habe nur leider absolut keine Idee wie...
Für jeden Tipp wäre ich dankbar.


Viele Grüße
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-13


Hallo,

leider blicke ich nicht vollständig durch was du meinst.

Aber reicht es nicht, wenn man <math>x=Sy</math> setzt?

Wally



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cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Also \[||x||_S:=||Sx||\] definiert eine weitere Vektornorm, jene induziert dann natürlich wieder eine Matrixnorm, und zu zeigen ist, dass jene gleich \[||A||_S:=||SAS^{-1}||\] ist.

Wie meinst Du das genau? Wo bringt einen das weiter?
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Das meinte ich so:

$\sup_\limits{ x\not=0 } \frac{||Ax||_S}{||x||_S} =\sup_\limits{x\not=0} \frac{||SAx||}{||Sx||}$.

Und jetzt ersetzt du $y=Sx $.

Wally
\(\endgroup\)


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cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Falls noch ein Leser verwirrt sein sollte.
Vielleicht nochmal ganz genau formuliert:
Sei $||\cdot||$ eine Vektornorm und $||\cdot||$ die durch jene induzierte Matrixnorm, dann wird durch jede reguläre Matrix $S\in\mathbb{C}^{n\times n}$ eine Vektornorm $||x||_S:=||Sx||$ definiert. Zeigen Sie, dass die durch $||\cdot||$ induzierte Matrixnorm $||A||_S:= ||SAS^{-1}||$ entspricht.


Ahh, danke für den Tipp, ich denke ich habe es verstanden.
Dann erhalte ich
$$
\sup\limits_{y\not=0} \frac{||SAS^{-1} y||}{||y||}$$
und das entspricht ja genau der Matrixnorm von $SAS^{-1}$.

Vielen Dank!
\(\endgroup\)


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