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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Streuraten von Elektronen und Zwischenschichtkopplungen in Mehrlagensystemen
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Universität/Hochschule Streuraten von Elektronen und Zwischenschichtkopplungen in Mehrlagensystemen
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-14


Hallo,

der Abschnitt 2.2 in den Bildern (aus einer Versuchsanleitung zum GMR-Effekt; Man findet die vollständige Versuchsanleitung online: www.ph2.uni-koeln.de/fileadmin/Lehre/PraktikumB/GMR_anleitung_current.pdf )
sollen eine Erklärung dafür geben, wieso bei einem Dreischichtsystem, bestehend aus zwei ferromagnetischen Schichten die von einer unmagnetischen Schicht getrennt werden, die Orientierung der Magnetisierung wie in Abbildung 4 (in Bild 1) ist. Die Schichtdicke der unmagnetischen Schicht nimmt dabei in ihrer Längsrichtung zu.

Ich habe ein paar der Dinge die mir unklar sind markiert.

Bei (1): Kann es sein, dass dieser Satz da ein bisschen fehl am Platz ist? Ist es nicht so, dass "Spin up" und "Spin down"-Elektronen unterschiedliche Streuraten in einer ferromagnetischen Schicht besitzen (je nach dem ob der Spin parallel oder antiparallel zur Magnetisierung ist) und daraus ein von der Spinorientierung abhängiger Widerstand resultiert. (Und der Widerstand korrespondiert zu der Höhe einer Potentialstufe?)

Das mit den unterschiedlichen Streuraten, je nach dem ob die Elektronen einen Spin parallel bzw. antiparallel zur Magnetisierung des Materials besitzen, steht so bzw. so ähnlich in einem der ersten Sätze von Abschnitt 2.1 (in der online Versuchsanleitung) bzw. findet man auch (als kleinen Satz in größeren Texten) online. Kann mir da vielleicht jemand eine Erklärung geben wieso das so ist?

Bei (2): Es heißt dort, dass der Impuls der Elektronen quantisiert ist. Wieso sollte er das sein? Ich dachte der Impuls eines Elektrons ist nur in einem unendlich hohen Potentialtopf quantisiert.

Bei (3): Unter dem Teil-Satz "Tritt jedoch ein bis dato unbesetztes Energieniveau durch die Fermienergie" kann ich mir mehr oder weniger etwas vorstellen:
Für die Energieniveaus von Teilchen in einem unendlich hohen Potentialkasten der Breite d (in einer Dimension) gilt

<math> E_n = \frac{n^2h^2}{8m_e d^2} </math>.

Wenn <math> E_n \leq E_{\text{Fermi}} </math> gelten muss, dann kann ich <math> d </math> immer größer machen, bis irgendwann das nächstgrößere <math> n </math> "erlaubt" ist.
Was ich nicht begreife ist, warum die Energie dann sprunghaft ansteigen sollte? Warum sollten diese "freien" Energieniveaus dann auch sprunghaft besetzt werden?




Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Viele Grüße,
Sebastian



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-15

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Hi Sebastian,

zu Punkt (1): Du hast Recht, dass in einem Ferromagneten die Streuung von Elektronen von der relativen Spinorientierung abhängt. Im Punkt (1) geht es aber um ein anderes (wenngleich verwandtes) Phänomen. Nämlich wird die Reflexion eines Elektrons aus einer unmagnetischen Schicht an der Grenzfläche zu einem Ferromagneten betrachtet, und das wichtige ist, dass der Reflexionskoeffizient von der relativen Spinorientierung abhängt.
Als Ursache kann denke ich die gleiche genannt werden, wie für die erwähnte Abhängigkeit der Streuung von der Spinorientierung: Die Subbänder des Ferromagneten für Spin up und Spin down haben eine unterschiedliche Gestalt, insbesondere ist die Zustandsdichte am Fermilevel in beiden Subbändern unterschiedlich. Damit sollte auch die Reflexion eines Elektrons an der Grenzfläche zu dem Ferromagneten von dessen Spin abhängen.

Zu (2): Auch in einem endlich tiefen Potentialtopf gibt es die gebundenen Elektronenzustände, die ein diskretes Energiespektrum und gequantelte Wellenvektoren besitzen. Es gibt zwar auch die freien Zustände (mit kontinuierlichem Energiespektrum) von höherenergetischen Elektronen, aber die spielen in der Argumentation in deiner Praktikumsanleitung keine Rolle.

Zu (3): Vielleicht wird es einfacher ersichtlich, wenn wir zunächst mal von dem vertrauten Fall starten, nämlich einer kontinuierlichen Energie-Zustandsdichte $n(E)$ der Elektronen des Metalls der Zwischenschicht.

Nun betrachten wir eine sehr dünne solche Zwischenschicht, links und rechts begrenzt durch die ferromagnetischen Schichten $A$ und $B$.
Die Elektronenwellen der Zwischenschicht werden an den Grenzflächen zu $A$ und $B$ teilweise reflektiert werden, beschrieben durch Reflexionskoeffizienten $r_A$ und $r_B.$ Aufgrund von Interferenz wird die Amplitude von Elektronen gewisser Wellenvektoren (und damit Energien) verstärkt, für andere Wellenvektoren wird die Amplitude verringert. Das führt auch zu einer Änderung der Zustandsdichte: Bei den Energien, bei denen verstärkende Interferenz auftritt, wird die Zustandsdichte erhöht; analog bei abschwächender Interferenz verringert.
Die Zustandsdichte ist nun also $n(E)+\Delta n(E)$ mit einer oszillierenden Funktion $\Delta n(E)$. Die Änderung der Gesamtenergie ergibt sich dann als $\Delta E=\int_{-\infty}^{E_\text{F}} \Delta n(E)\,\text{d}E$, mit der Fermi-Energie $E_\text{F}$.

Nun hängen ja die Reflexionskoeffizienten $r_A$ und $r_B$ von der relativen Spinorientierung der Schichten $A$ und $B$ zum Spin des betrachteten Elektrons der Zwischenschicht ab, siehe dein Punkt (1). Da die Zwischenschicht unmagnetisch ist (und damit keine Spinausrichtung bevorzugt), hängt $\Delta E$ einfach von der Spinorientierung der Schichten $A$ und $B$ ab. Mal liefert eine gleiche Orientierung der Spins in $A$ und $B$ (ferromagnetische Kopplung) ein geringeres $\Delta E$, und mal eine entgegengesetzte Orientierung (antiferromagnetische Kopplung).

In deiner Praktikumsanleitung wird, wohl um ein schnelles anschauliches Argument zu bringen, der Extremfall vollständiger Reflexion an den Grenzflächen zu den beiden Schichten $A$ und $B$ betrachtet, wenn diese ferromagnetisch gekoppelt sind. Hier gilt dann $|r_Ar_B|=1$ und es ergeben sich diskrete Zustände wie beim endlich tiefen Potentialtopf. Dies führt dann zu Sprüngen in der Zustandsdichte $n(E)+\Delta n(E)$ und genau dem Argument aus der Praktikumsanleitung.

Siehe auch Kap. 9.4 in folgendem Artikel, insbesondere die Gleichungen (12), (15), (20), (23) und Abb. 2. : www1.mpi-halle.mpg.de/~bruno/publis/R_2001_2.pdf
Dort wird das, was ich dir hier zum Punkt (3) geschrieben habe, ausführlich durchgerechnet und auch weiterführende Problemstellungen werden behandelt.
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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-16


Hey,
ich will dir noch mal die wesentlichen Punkte meiner obigen Ausführungen aufschreiben:

1) Wie du weißt, ist die Streuung von Elektronen in der magnetischen Schicht von der relativen Spinorientierung abhängig. Folglich ist die Transmission durch die magnetische Schicht, und damit auch die Reflexion an der Grenzfläche zur magnetischen Schicht abhängig von der relativen Spinorientierung.

2) Im endlich tiefen Potentialtopf gibt es (wenn er ausreichend tief ist) Zustände mit diskreten Energien, die stehenden Elektronenwellen entsprechen. Es gibt keine Zustände mit Energien zwischen diesen diskreten Energien.

3) Wir betrachten den Fall von zwei in gleicher Richtung magnetisierten ferromagnetischen Schichten. Die Elektronen der Zwischenschicht mit einem zu dieser Magnetisierung entgegengesetztem Spin werden stark reflektiert, idealisiert ist es eine vollständige Reflexion, die zu stehenden Wellen mit diskreten Energieniveaus führt. Jedes solche Energieniveau, das unter der Fermienergie liegt, ist nach Definition der Fermienergie auch besetzt. Wenn jetzt ein neues diskretes Energieniveau unter die Fermienergie rutscht, wird es also besetzt - jetzt kann man sich fragen, woher das Elektron denn kommt, das dieses Niveau neu besetzen soll. Es ist zwangsläufig ein Elektron, das vorher einen Spin hatte, der parallel zur Magnetisierung des Ferromagneten war. Diese Elektronen besetzen wegen der schwachen Reflexion keine diskreten Zustände (weil der Potentialtopf für sie zu niedrig ist, siehe die obere Kurve links in Abb. 5 deiner Praktikumsanleitung), sondern haben ein kontinuierliches Spektrum geringer Energie. Man muss also Energie aufwenden, um ein solches Elektron in das neu entstandene diskrete Niveau zu bringen.



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-09

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Hallo Kornkreis,

vielen Dank erst einmal für die beiden unglaublich ausführlichen Antworten! Ich habe das Gefühl, dass die Sache schon etwas klarer geworden ist.
Ich würde gerne aber noch einmal folgende Sachen klären:


1. Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, werden die Elektronen auf zwei unterschiedliche Arten gestreut:

(I) Einmal beim Übergang zwischen zwei Schichten. (Von denen im jetztigen Kontext also eine unmagnetisch und die andere magnetisch ist.)

(II) Und einmal innerhalb einer (magnetischen) Schicht.

Bei (I) finde ich die Streuung recht anschaulich. (Wie in Atomphysik: Potentialtopf endlicher Tiefe - nur halt jetzt mit Pauli- oder Dirac- Gleichung noch eine Spin-Abhängigkeit.)

Bei (II) habe ich schon mehr Probleme. Ich kenne "scattering" immer so, dass ein Teilchen wegen der Präsenz eines Potentials gestreut wird. (Etwa Kugelstoß oder Coulomb-Potential.)
Auch wenn ich es nirgendwo so (in Verbindung mit dem Wort "scattering") gelesen habe, interpretiere ich auch andere Sachen als "Streuung" (etwa die Ablenkung von Elektronen je nach Spin in einem äußeren Magnetfeld, wie beim Stern-Gerlach-Versuch).

Wie kann ich mir das hier vorstellen mit der Streuung? Werden die Elektronen an den Atomrümpfen (die im Festkörper auf einem Gitter angeordnet sind) wegen der Coulomb-Kraft gestreut? Oder ist es so, dass das gesamte magnetische Moment der Nukleonen (und die damit entstehende Magnetisierung $\vec{M}$) gemäß der Formel $\vec{B} = \mu_0 \vec{M}$ ein Magnetfeld erzeugen an denen die Elektronen abgelenkt werden? Oder beides? - Ich bin verwirrt.


2. Du hast das Wort "Elektronenwelle" benutzt. Damit meinst du einfach nur "Wellenfunktion das das Elektron beschreibt" oder? (Und nicht etwa Blochwellen. (Die ich auch unter dem Namen "Elektronenwellen" kenne.)
Allgemein ist das Thema Blochwellen hier vollkommen fehl am Platz oder? (Weil wir ja hier hauptsächlich die Bewegung der Elektronen bei den Schichtübergängen betrachten und nicht etwa die Bewegung innerhalb einer Schicht.))


3. Ich finde den Artikel den du verlinkt hast unglaublich toll und erleuchtend! (Habe ihn bereits auf meinem Computer abgespeichert. ;-) )
Leider verstehe ich nicht alles.
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen:

(I) Ich verstehe leider nicht die Herkunft von Gleichung (9): Es heißt dort, dass die "density of states per unit energy and unit width" gegeben ist durch
$\displaystyle \frac{2}{\pi} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\varepsilon}$
Aber was genau ist $q$ in diesem Kontext? Ich dachte zuerst an "Wellenzahl" aber im Abschnitt davor wurde $q$ als Differenz zweier Wellenzahlen eingeführt. Und woher kommt der $\frac{1}{\pi}$-Faktor? - Ich bin verwirrt.

(II) Außerdem glaube ich, dass der Graph in "Fig. 2" im Artikel falsch ist? (Denn wenn

$\displaystyle \Delta N (\varepsilon) = - \frac{2}{\pi} \text{Im} \ln(1-r_\text{A}r_\text{B}e^{\mathrm{i}qD})$

und

$\displaystyle \text{Im} \ln (z) = \text{Arg} (z)$

und

$\displaystyle |r_\text{A}r_\text{B}| = 1$,

dann kann

$\displaystyle 1-r_\text{A}r_\text{B}e^{\mathrm{i}qD} \qquad (*)$

ja hoechstens Argumente in $(-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4})$ besitzen (es wird ja durch (*) gerade ein Kreis um den Punkt $1+0\cdot \mathrm{i}$ beschrieben), und dementsprechend gilt
$\displaystyle \Delta N (\varepsilon) \in (- \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ - und nicht wie im Graphen \Delta N \in (-1,1).)

4. Du schriebst in deinem ersten Beitrag:
Die Subbänder des Ferromagneten für Spin up und Spin down haben eine unterschiedliche Gestalt, insbesondere ist die Zustandsdichte am Fermilevel in beiden Subbändern unterschiedlich.
Hast du dazu vielleicht ein bisschen Literatur? (Das Bändermodell das ich kenne geht gar nicht auf Spin ein...^^)

Auf deine Erklärung von Punkt 3) aus meinem ersten Beitrag (insbesondere die Erklärung in deiner zweiten Antwort (also deine Erklärung im dritten Beitrag)) werde ich die nächsten Tage nochmal eingehen. (Ich glaube ich habe es noch nicht ganz verstanden was du damit meinst. Ich möchte es noch ein bisschen "sacken lassen".)


Aus dieser Antwort ist jetzt ein ganz schön langer Text geworden! Ich würde der Einfachheit halber vorschlagen, dass die einzelnen Punkte auch einzeln diskutiert werden. (Um den Überblick zu behalten.)
(Ich hoffe ich spreche damit auch ein paar Leser an, die die Antworten auf nur eine der Fragen kennen (und nicht etwa auf alle.))
 
Und ich bin übrigens unendlich dankbar für jeden der sich die Mühe macht und sich hier reinliest! :)

Viele Grüße
Sebastian


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-10

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Hallöchen,
schön, dass du dieses Thema noch mal anpackst  ;-) Dann will ich auch ein paar deiner Fragen beantworten und fange mal bei deiner Frage 4 an:

In metallischen Ferromagneten gibt es Subbänder für Spin-up-Elektronen und Spin-down-Elektronen, die unterschiedlich aussehen und unterschiedlich besetzt sind. Das sieht idealisert so aus (Majoritätsspins haben 'Spin up', was aufgrund der negativen Ladung des Elektrons in 'Magnetisierung down' resultiert; das ist mit dem Block rechts angedeutet), und in der Realität so.

Zu 1.: Wie in den oben verlinkten Bildern gezeigt, gibt es für Elektronen verschiedenen Spins unterschiedliche Zustandsdichten beim Fermilevel. Wenn du dir das idealisierte Bild ansiehst, kannst du erkennen, dass am Fermilevel der Majoritätsspins (also der Spins, die am meisten vorhanden sind, dort Spin up) die Zustandsdichte höher ist als bei den Minoritätsspins. Deswegen haben Spins, die wie die Majoritätsspins orientiert sind, mehr Zustände, in die sie streuen können, was den Widerstand erhöht. Das erklärt also die Abhängigkeit des Widerstands in der Schicht. Die Abhängigkeit des Reflexionskoeffizienten an der Grenzfläche folgt aber auch daraus, ich würde sagen, man kann das mit der Relation |R|²+|T|²=1 plausibel machen.

Zu 2.: Ja, ich meine die Wellenfunktion des Elektrons. Ich weiß gerade nicht, ob "Blochwelle" bei Schichten mit der Dicke weniger Atomlagen noch ein gebräuchlicher Ausdruck ist. Aber als Blochwelle bezeichnet man ja im Grunde die Wellenfunktion eines Festkörperelektrons.

Zu 3.: Das $q$ ist wirklich die Wellenzahl (eindimensional), der Faktor $\pi$ kommt durch die Normierung auf das Volumen (bzw. Länge), ich schreib vielleicht später noch mal was dazu.

Mit dem Kreis irrst du dich. Zwar beschreibt $1-r_Ar_Be^{qD}$ einen Kreis um $1+0\cdot i$, wie du richtig sagtest. Aber dieser hat den Radius 1, das heißt Punkte nahe am Ursprung haben tatsächlich Winkel von annähernd $\pi/2$.

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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-10

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Hallo Kornkreis!


(...) (Majoritätsspins haben 'Spin up', was aufgrund der negativen Ladung des Elektrons in 'Magnetisierung down' resultiert; das ist mit dem Block rechts angedeutet) (...)
Ja sehr nice! Ich konnte es mir auch noch einmal mit diesem Gedankengang klar machen: (Der richtig ist?)
Wenn ich ein Magnetfeld einschalte, was in die negative z-Achse "zeigt" also

$\displaystyle B_z = -c_B$

mit $c_B > 0$, dann hat man zusammen mit dem Zusammenhang zwischen Spin und magnetischem Spinmoment für Elektronen

$\displaystyle \vec{m} \approx -\frac{e}{m_e} \vec{s}$

und der potentiellen Energie eines magnetischen Dipols in einem Magnetfeld

$\displaystyle E_{pot} = - \vec{m} \cdot \vec{B}$

die folgende (skizzierte) Argumentation:

Spin up $\Rightarrow$ Moment down $\Rightarrow$ potentielle Energie hat negatives Vorzeichen.
Spin down $\Rightarrow$ (...) $\Rightarrow$ potentielle Energie hat positives Vorzeichen.

Die Elektronen mit Spin parallel zum äußeren Magnetfeld (bzw. zur Magnetisierung des Materials) werden im Energieniveau angehoben, aber nicht höher als bis zur Fermienergie. Also muss hier die Zustandsdichte sinken.
Die Elektronen mit Spin antiparallel zum äußeren Magnetfeld werden also in ihrem Energieniveau abgesenkt. Hier ist also noch "Platz" für weitere Elektronen. (Bis zur Fermi-Energie halt.)


Zu 1.: (...) Wenn du dir das idealisierte Bild ansiehst, kannst du erkennen, dass am Fermilevel der Majoritätsspins (also der Spins, die am meisten vorhanden sind, dort Spin up) die Zustandsdichte höher ist als bei den Minoritätsspins. Deswegen haben Spins, die wie die Majoritätsspins orientiert sind, mehr Zustände, in die sie streuen können, was den Widerstand erhöht. Das erklärt also die Abhängigkeit des Widerstands in der Schicht. (...)

Kannst du da vielleicht noch ein bisschen näher drauf eingehen? Ich verstehe nicht ganz wieso eine höhere Zustandsdichte eine größere Streurate implizieren sollte.
(In meiner jetztigen Vorstellung ist "Streuung" so etwas wie "Ablenkung aufgrund einer Kraft" (die von magnetischen Momenten oder Ladungen oder von direkten Stoessen ausgeht). Wieso sollte diese Ablenkung irgendwie durch die Anzahl der Elektronen die gestreut werden (also durch die Zustandsdichte) beeinflusst werden?


Zu 2.: Ja, ich meine die Wellenfunktion des Elektrons. (...)
Gut. :)

Zu 3.: Das $q$ ist wirklich die Wellenzahl (eindimensional), der Faktor $\pi$ kommt durch die Normierung auf das Volumen (bzw. Länge), ich schreib vielleicht später noch mal was dazu.
Das waere nice. (In wie fern wird denn normiert?^^)


Mit dem Kreis irrst du dich. (...)
Ja du hast recht! Ich habe mich wohl zu sehr am Bild orientiert und zu wenig selber nachgedacht: Auf dem Bild im von dir verlinkten Artikel wurde der Kreis weit entfernt vom Ursprung gezeichnet... :)


Viele Gruesse,
Sebastian


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