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Analysis » Stetigkeit » Zwei stetig monoton fallende bzw. steigende Funktionen schneiden sich
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Universität/Hochschule J Zwei stetig monoton fallende bzw. steigende Funktionen schneiden sich
asg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2017
Mitteilungen: 45
  Themenstart: 2018-01-28

Hallo, folgende Aufgabe: Es seien $a, b, c \in \mathbb{R}$ mit $a < b$ und $f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetige Funktionen mit $f(a) > g(a)$ und $f(b) < g(b)$. Zeigen Sie, dass es einen Punkt $c \in (a, b)$ mit $f(c) = g(c)$ gibt. Meine Lösung: Ich kann leider den Beweis nicht formal führen. In Worten würde ich Folgendes dazu schreiben: Aus $a < b$ und $f(a) > g(a)$ und $f(b) < g(b)$ folgt $f$ ist monoton fallend und $g$ ist monoton steigend. Da $f$ und $g$ denselben Definitionsbereich haben haben und $f(a) > g(a)$ und $f(b) < g(b)$ und beide Funktionen stetig sind, treffen sich $f$ und $g$ in mindestens einem Punkt $c \in (a, b)$. Ich habe es mit Grenzwert versucht, aber leider kam dabei keine Lösung raus. Wie könnte ich es denn formal beweisen? Dank vorab Viele Grüße Asg


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-28

Hi, kannst du es formal beweisen, wenn g = 0 ist?


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-28

Hi asg, diese Aufgabe wurde vor kurzem hier besprochen. Es ist nicht richtig, dass aus den Voraussetzungen die Monotonie der Funktionen f und g folgt. Dies kann man aber als Zusatzvoraussetzung hinzufügen, weil in diesem Fall bewiesen werden kann, dass die Lösung c eindeutig bestimmt ist. Gruß Buri


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PrinzessinEinhorn
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-28

Hallo, \quoteon(2018-01-28 20:46 - asg im Themenstart) Aus $a < b$ und $f(a) > g(a)$ und $f(b) < g(b)$ folgt $f$ ist monoton fallend und $g$ ist monoton steigend. \quoteoff Nein. Für Monotonie brauchst du eine stärkere Bedingung. Du kannst dir leicht eine Funktion hinmalen, die diese Bedingung erfüllt, aber nicht monoton ist. Beachte, dass $a,b,c\in\IR$ fest sind. \quoteon Wie könnte ich es denn formal beweisen? \quoteoff Sicherlich spielt der Zwischenwertsatz eine Rolle. Idee: Betrachte die Hilfsfunktion $h:[a,b]\to\IR$ mit $h(x):=f(x)-g(x)$. $h$ ist stetig. Warum? Nun probiere den Zwischenwertssatz anzuwenden. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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viertel
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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-28

\quoteon(2018-01-28 20:46 - asg im Themenstart) Aus $a < b$ und $f(a) > g(a)$ und $f(b) < g(b)$ folgt $f$ ist monoton fallend und $g$ ist monoton steigend. \quoteoff Diese Folgerung ist mal richtig falsch ;-) Siehe: \geo ebene(300,300) x(-3,3) y(-3,3) color(red) plot(-0.25*x) color(blue) plot(-0.6*x-0.2) p(-2,0,a) p(1,0,b) \geooff geoprint() \blue\ f(x) \red\ g(x) Es ist f(a)>g(a) und f(b)¼


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asg
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-28

Hallo zusammen, Dankeschön für die schnelle Hilfe. \quoteon(2018-01-28 20:53 - Buri in Beitrag No. 2) diese Aufgabe wurde vor kurzem hier besprochen. \quoteoff Ups! das hatte ich leider nicht gesehen. Tut mir leid für die nochmalige Frage. \quoteon(2018-01-28 20:53 - Buri in Beitrag No. 2) Es ist nicht richtig, dass aus den Voraussetzungen die Monotonie der Funktionen f und g folgt. \quoteoff \quoteon(2018-01-28 20:55 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3) Nein. Für Monotonie brauchst du eine stärkere Bedingung. Du kannst dir leicht eine Funktion hinmalen, die diese Bedingung erfüllt, aber nicht monoton ist. Beachte, dass $a,b,c\in\IR$ fest sind. \quoteoff \quoteon(2018-01-28 22:09 - viertel in Beitrag No. 4) Diese Folgerung ist mal richtig falsch ;-) \quoteoff Stimmt - da habe ich etwas durcheinander gedacht/geschrieben. Das war mir bewusst, dass sie nicht unbedingt monoton seien müssen, (deshalb habe ich "es gibt mindestens ein $c$" geschrieben,) aber wie gesagt meine Gedanken und mein Schreiben waren wohl nicht synchron :-D \quoteon(2018-01-28 20:53 - Buri in Beitrag No. 2) Dies kann man aber als Zusatzvoraussetzung hinzufügen, weil in diesem Fall bewiesen werden kann, dass die Lösung c eindeutig bestimmt ist. \quoteoff $c$ kann nur eindeutig bestimmt werden, wenn mindestens eine der Funktionen streng monoton ist, denn wenn beide über ein Intervall denselben Funktionswert haben, ist ja $c$ nicht mehr eindeutig. Oder? \quoteon(2018-01-28 20:55 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3) Sicherlich spielt der Zwischenwertsatz eine Rolle. Idee: Betrachte die Hilfsfunktion $h:[a,b]\to\IR$ mit $h(x):=f(x)-g(x)$. $h$ ist stetig. Warum? Nun probiere den Zwischenwertssatz anzuwenden. \quoteoff $h$ ist stetig, weil $f$ und $g$ stetig sind. Deshalb kann der Zwischenwertssatz angewendet werden. Da $f(a) > g(a)$, gilt $h(a) > 0$ und umgekehrt $f(b) < g(b)$, gilt $h(b) < 0$. D. h. es gibt ein $c \in (a, b)$ mit $h(c) = f(c) - g(c) = 0$ also $f(c) - g(c) = 0 \Rightarrow f(c) = g(c)$ q.e.d Müsste richtig sein, oder? \quoteon(2018-01-28 20:51 - kurtg in Beitrag No. 1) kannst du es formal beweisen, wenn g = 0 ist? \quoteoff Nicht wirklich, aber ich vermute, du wolltest auch auf den SWS hinaus. Dankeschön nochmals für die Antworten. Viele Grüße Asg


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viertel
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  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-29

\quoteon(asg) du wolltest auch auf den SWS hinaus \quoteoff Den was :-o ? Swissenwersass :-D ?


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asg
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-29

\quoteon(2018-01-29 00:29 - viertel in Beitrag No. 6) Den was :-o ? Swissenwersass :-D ? \quoteoff Ich spreche eben in Dialekt :-D :-D \quoteon(2018-01-28 20:51 - kurtg in Beitrag No. 1) kannst du es formal beweisen, wenn g = 0 ist? \quoteoff \quoteon(2018-01-28 22:28 - asg in Beitrag No. 5) Nicht wirklich, aber ich vermute, du wolltest auch auf den SWS hinaus. \quoteoff Oder doch: Wenn $g = 0$, dann folgt aus den Voraussetzungen sofort $f(a) > 0$ und $f(b) < 0$. Nun kann ich den ZWS ( :-D ) auf $f$ anwenden: es existiert ein $c \in (a, b)$ mit $f(c) = 0 \in (f(a), f(b))$ Da wir $g=0$ gesetzt haben, gilt zusätzlich $g(c) = 0 \Rightarrow f(c)=g(c)$. Aber das gilt eben für ein $g$ nicht allgemein.


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BlakkCube
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  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-29

Hallo asg, es ist häufig zielführend, aus zwei Funktionen eine zu "machen". Der entscheidende Kniff ist nun h:=f-g zu betrachten. Gruß BlakkCube


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asg
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-31

Hallo, \quoteon(2018-01-29 18:04 - BlakkCube in Beitrag No. 8) es ist häufig zielführend, aus zwei Funktionen eine zu "machen". \quoteoff ja das ist ein schöner Trick, wie es auch bereits von @PrinzessinEinhorn bzw. in dem verlinkten Beitrag von @Buri, @viertel es auch geschrieben haben - wieder habe ich was neues gelernt :-) \quoteon(2018-01-29 18:04 - BlakkCube in Beitrag No. 8) Der entscheidende Kniff ist nun h:=f-g zu betrachten. \quoteoff Bzw. auch $h:= g-f$ müsste ja gehen(?) Dankeschön für die Hilfe. Viele Grüße Asg


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PrinzessinEinhorn
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  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-31

Ja, es geht auch $h:=g-f$. Das spielt keine Rolle. In beiden Fallen kann man einen Vorzeichenwechsel nachweisen und mit dem Zwischenwertsatz dann die Nullstelle.


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asg
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-31

\quoteon(2018-01-31 21:13 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 10) Ja, es geht auch $h:=g-f$. \quoteoff Danke für die Bestätigung. Viele Grüße Asg


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