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Mathematik » Stochastik und Statistik » Konvergenz stochastisch
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Universität/Hochschule Konvergenz stochastisch
kathalina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-04


Man soll zeigen, dass Yn stochastisch gegen X konvergiert.



Kann mir jemand helfen?



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-04


Ich würde gern, kann aber auf dem Bild gar nix erkennen, zu klein und zu unscharf. Kannst du es abtippen oder so?  smile

Gruß
Targon



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kathalina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-04


oh tut mir leid !

P(Zn=1)=1-P(Zn=0)=1/n

Yn:=X+nZn

Also wenn eine ZG gegen 0 stochastisch konvergiert ist mir klar, wie es geht, aber diese zweite ZG verwirrt mich, weil ich dann P(nZn) habe (ich weiß nicht wie ich mit dem n umgehen soll.)



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-04

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
2018-02-04 19:36 - kathalina in Beitrag No. 2 schreibt:
..., weil ich dann P(nZn) habe (ich weiß nicht wie ich mit dem n umgehen soll.)

Die Besonderheit bei der stochastischen Konvergenz (im Vergleich zu \(L_1\) z. B.) ist, dass die Differenz zweier Zufallsvariablen nur mit der Masse gewichtet wird auf der sie ungleich sind und nicht noch mit der Größe der Differenz, mal ganz anschaulich gesprochen. Also
\(P(\vert X - Y \vert > \frac{1}{2}) = P(\vert Z - Y \vert > \frac{1}{2})\) für \(X=1, Y = 0, Z = 100\) (jeweils konstante Zufallsvariablen), aber
\(\Vert X - Y \Vert_{L_1} = 1 \neq 100 = \Vert Y - Z \Vert_{L_1} \).
Aber genug vage ausgedrückt, konkret zur Aufgabe:
Für \(\varepsilon >0\) muss gezeigt werden:
\(P(\vert X + n Z_n - X \vert > \varepsilon) \rightarrow 0\)
Also rechne \(P(n Z_n > \varepsilon) = P(Z_n = 1)\).
Diese Gleichheit gilt ab einem \(n \in \mathbb{N}\), weil für festes \(\varepsilon\) ab einem \(n\) die Ungleichung \(n \cdot 1 = n > \varepsilon\) gilt. Hingegen \(n \cdot 0 = 0 < \varepsilon\) für jede Wahl von \(\varepsilon\) und da \(Z_n\) nur die beiden Werte \(0\) und \(1\) annimmt, gilt die obige Gleichheit.

Gruß
Targon
\(\endgroup\)


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kathalina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-09


Was meinst du mit Masse?

Wie würde die Umformung funktionieren wenn Yn= Produkt über alle Xi
und nur X(k=1)= 2/3 gegeben wäre?
Dann hätte ich das Produkt über P(Yn>E)=P(Produkt über alle Xi)und dann nur P(x(k=1))? weil sonst nur nullmengen.
aber dann würde der limes gegen 2/3 und nicht gegen k gehen. pder konvergiert das nicht stochastisch?



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-09

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Mit der Masse einer Menge meine ich einfach die Zahl, die ihr das Maß zuweist, also \(P(A)\). Kommt denke ich von der Intuition, dass man, sofern es eine solche gibt, eine \(\textit{Dichte}\text{funktion}\) integriert, ähnlich wie in der Physik: Wenn man die Dichte in Abhängigkeit vom Ort gegeben hat, kann man sie über das Volumen integrieren und erhält die Masse eines Körpers. So oder so ähnlich meinte ich das, weil das meine Intuition für das ist, was ein Maß tut.

Was meinst du mit deinen \(X_i\)? In deinem ersten Post hattest du ja nur ein \(X\) definiert. Es ist vielleicht auch leichter zu folgen, wenn du einen Formeleditor benutzt  smile
\(\endgroup\)


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kathalina
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-09


das ist eine neue aufgabe
wenn ich diese auf dein schema anwende, komme ich nicht weiter
bin gerade etwas verzweifelt weil ich morgen klausur habe.



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-09

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Puh, dann will ich mal mein bestes geben...
Also die Aufgabenstellung a) ist meiner Meinung nach schon mal falsch. Zumindest wenn man nicht mehr über die \(X_i\) weiß.
Man nehme als Beispiel den Wahrscheinlichkeitsraum \( ((0,1),\mathcal{B},\lambda)\), also das offene Einheitsintervall mit der Borel-\(\sigma\)-Algebra und dem Lebesguemaß.
Für die \(X_i\) wähle:
\[X_i: x \mapsto \begin{cases}1 && x \in (0,\frac{2}{3}) \\ 0 && \text{sonst} \end{cases}\] Dann gilt
\[\prod_{j=1}^n X_j = X_1 \quad \forall n \in \mathbb{N}\] und damit konvergiert das Produkt gegen \(X_1\) fast sicher, also nicht gegen 0.
Da die Folge konstant ist, konvergiert sie natürlich auch in \(\mathcal{L}_1 (P)\), was dann Teil b) widerspricht.

Könnte man Teil a) zeigen, wäre Teil c) einfach nur die Folgerung, dass aus fast sicherer Konvergenz die stochastische folgt. Aber wie gesagt, wenn ich grad keinen kompletten Denkfehler habe und das wirklich alles ist, was über die \(X_i\) bekannt ist, behaupte ich mal, die Aufgabe ist falsch. Hoffe das erreicht dich noch rechtzeitig vor deiner Klausur bzw. bringt noch was.

Viel Erfolg morgen
Targon
\(\endgroup\)


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