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Mathematik » Topologie » Fundamentalgruppe der projektiven Ebene
Thema eröffnet 2018-02-08 18:39 von
Aegon
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Seite 2   [1 2]   2 Seiten
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Universität/Hochschule Fundamentalgruppe der projektiven Ebene
kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
2018-02-09 20:52 - Aegon in Beitrag No. 37 schreibt:
Also ich habe mir den Link angeguckt und von der Idee verstehe ich es. Was ich noch nicht verstanden habe:

1) Er sagt $\pi_1(A \cap B) \cong \mathbb{Z} = (\gamma \vert \emptyset)$
Soweit verständlich, nur ist ja hier $\gamma$ eine Ein-Punkt-Menge. Später aber ist es der innere Kreis von $V$ bzw. $U \cap V$.
Genauso auch bei $b$ in $\pi_1(B)$.
$\mathbb{Z} = \langle \pm1 \rangle$

2018-02-09 20:52 - Aegon in Beitrag No. 37 schreibt:
2) Was man dort macht ist ja zu gucken, in welchem Verhältnis der Erzeuger des Schnittes $A\cap B$ zu dem Erzeuger in $B$ steht im Vergleich: im normalen Zustand und dann bei der Veränderung zum Möbiusband..Sehe ich das richtig?
Genau.
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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
1)Aber ist denn der Ansatz mit
$\pi_1(T^2)=1 \star_{\{\mathbb{Z}\}} \mathbb{Z} \star \mathbb{Z}$
falsch?



2)Also dass $\mathbb{Z}=(\pm1)$  ist weiß ich, aber ich verstehe nicht wieso das, auf dem Ring gesehen, der innere Rand ist..
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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
1) Es kommt $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ raus und ich glaube, die Kommutatoruntergrupe von $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ ist nicht isomorph zu $\mathbb{Z}$ (bin mir nicht sicher, müsste nachdenken). Was ist deine Überdeckung?

2) Du musst zeigen, dass bis auf Homotopie aus einer einfachen Schleife (Umlaufzahl 1) eine mit Umlaufzahl 2 wird.
\(\endgroup\)


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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
1)Es ist:
$U=\{x \in T^2 \vert x \in [-1/2,1/2]^2\}$ zum Beispiel, oder halt irgendein anderes inneres Quadrat.
$V=T^2 \setminus p$ wobei $p$ irgendeinen Punkt. Dann ist
$U \cap V=U \setminus p$ und damit die Fundamentalgruppe $\mathbb{Z}$.
Die Fundamentalgruppe von U ist trivial. Bei der Fundamentalgruppe von V weiß ich aus der Vorlesung, dass es homöomorph zu $S^1 \vee S^1$ und damit die Fundamentalgruppe $\mathbb{Z} \star \mathbb{Z}$ ist.





2)Also wenn ich dann die Erzeuger identifiziere, so wie sie identifiziert wurden, dann verstehe ich den Beweis weiter. Aber es wird ja


hier der rote Kreis als Erzeuger von $B$ und der lila Kreis als der Erzeuger von $A \cap B$ betrachtet, was ja aber bei beiden $\mathbb{Z}=(\pm1)$ ist..
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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
1) OK, dann musst du zeigen, dass $\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}$ die Kommutatoruntergruppe ist.
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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)
1) Kann man das so machen:


Also ich muss gucken wie dieses innere Rechteck ohne einen Punkt in das äußere eingebunden wird. Wenn ich einfach das innere Rechteck auf den Rand reduziere sehe ich, dass bei einer Umrundung das äußere Rechteck vier Seiten entlangläuft, und zwar wenn ich jeweils die gegenüberliegenden Seiten a und b nenne dann $aba^{-1}b^{-1}$.


2) Kann ich das hier nicht auch so machen,also einfach schauen wie der Schnitt in B eingebunden wird:

und dann bekomme ich dassebe Ergebnis, dass wenn der Schnitt eine Runde läuft, der äußere Rand zwei läuft? Wobei das dann aber , wenn ich den äußeren Rand b nenne, $bb^{-1}$ sein müsste und nicht $b^2$..
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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10

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ok, also mein letzter Eintrag war etwas missverständlich, aber ich denke ich habe jetzt verstanden wieso bei dem Beweis der projektiven Ebene der innere Kreis der Erzeuger war:
Ich weiß ja, dass $\pi_1(S^1) =\mathbb{Z}$ weil die grad/deg Funktion ein Homöomorphismus ist,im Grunde bildet man da einen Kreis auf die Menge der Umdrehungen (genau genommen wohl nicht aber so kann man es sich vorstellen). Deshalb betrachte ich im Grunde nicht den inneren Kreis, sondern die Umdrehung des Kreises.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10


Ich habe noch eine kurze Frage dazu, in den Übungsgruppen wurde wohl eine andere Lösung vorgestell, nämlich die Aufteilung so wie ich es im Bild ganz am Anfang beschrieben habe, man teilt also den Kreis senkrecht in drei Teile. Die beiden Mengen sind dann zum Einen die Mitte und zum Anderen die äußeren Ränder.Ich verstehe diesen Ansatz allerdings nicht, denn die zweite Menge ist doch gar nicht wegezusammenhängend, oder??



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