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Mathematik » Zahlentheorie » Nullfreie Potenzen
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Kein bestimmter Bereich J Nullfreie Potenzen
querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-10


Hallo,

weil die Frage nach 2er-Potenzen ohne 5 wohl nicht entscheidbar ist, möchte ich ein ähnliches, aber hoffentlich einfacheres Problem untersuchen:

Zu jedem k∈N gibt es unendlich viele natürliche Zahlen n, sodass in der Dezimaldarstellung von nk die Ziffer 0 nicht vorkommt.

Für k=1 ist es trivial, für Quadratzahlen (k=2) habe ich eine Lösung gefunden. Für k>2 ist die Aussage zwar sicher richtig, aber ich kann es nicht formal beweisen.

Über Hinweise würde ich mich sehr freuen.

LG



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-11


Hi,

das ist vermutlich offen: oeis.org/A052040 oeis.org/A052044



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-11


Hi querin,
die Zahlen 333...3333 enthalten keine 8.
Eine Kubikzahlenfolge ohne 0 habe ich leider nicht gefunden.
Gruß Buri



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-11


Danke für die Hinweise!

fed-Code einblenden

Für k=3 habe ich leider auch noch keine Formel gefunden (übrigens enthält auch 103m keine 8   wink - Das Problem ist wirklich nur die Ziffer 0)

LG




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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-13


Hallo, mir ist Folgendes aufgefallen:

fed-Code einblenden

Vielleicht liefern derartige Polynome höheren Grades auch Lösungen für k>2 ?
Eine Systematik kann ich nicht erkennen und mit einfachem Probieren komme ich da wohl nicht weiter.



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Vermutung ohne formalen Beweis:

fed-Code einblenden



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-17


Hallo querin,

wie viele Werte von m hast du denn ausprobiert, um zu dieser Vermutung zu gelangen?



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Hallo StrgAltEntf,

ich habe gerade Python entdeckt. Damit konnte ich verschiedene Polynome vierten und fünften Grades mit jeweils m=1,2,3,...,100 probieren. Der entscheidende Schritt war, auch negative Absolutglieder zu testen.



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cyrix
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Aus: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-17


Ich habe mal den Spaß für <math>m=120</math> von Wolfram Alpha durchrechnen lassen. Deine Kubikzahl hat dann die Darstellung

29629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629
62962962962962962962962962962962962962962962985185185185185185185185185185
18518518518518518518518518518518518518518518518518518518518518518518518518
51851851851851852496296296296296296296296296296296296296296296296296296296
29629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629738148148148
14814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814
81481481481481481481481481481481483192592592592592592592592592592592592592
59259259259259259259259259259259259259259259259259259259259259259259259259
25925949481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481
48148148148148148148148148148148148148148148148148149777777777777777777777
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
77777777777777777777777786111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111777
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
77777777777777777777777777777777777777777762814814814814814814814814814814
81481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481481
48148148148147999259259259259259259259259259259259259259259259259259259259
25925925925925925925925925925925925925925925925925925925925929148148148148
14814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814814
81481481481481481481481481481481382962962962962962962962962962962962962962
96296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296
29629851851851851851851851851851851851851851851851851851851851851851851851
85185185185185185185185185185185185185185185185185296296296296296296296296
29629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629
629629629629629629629625


Man sieht dabei die sich wiederholenden Drei-Ziffern-Blöcke, dann nen "Übergangsblock", und die nächste Wiederholung usw.

Insofern kann man hoffen, hier eine allgemeine Struktur zeigen zu können, und damit dann, dass da nie eine Ziffer 0 auftritt.


Cyrix



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


2018-02-17 17:36 - cyrix in Beitrag No. 8 schreibt:
Insofern kann man hoffen, hier eine allgemeine Struktur zeigen zu können, und damit dann, dass da nie eine Ziffer 0 auftritt.

Ach Cyrix, wie freut mich das!
Bei den Zweierpotenzen ohne 5 hattest du mir ja jegliche Hoffnung auf einen Beweis genommen.

LG



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-18


Hi querin,
die Formel aus Beitrag #5 liefert für alle Exponenten bis 500 nullfreie Kubikzahlen. Es ist möglich, aber nicht sinnvoll, die Überprüfung fortzusetzen, weil eine auffällige Gesetzmäßigkeit erkennbar ist.
Leider ist die sorgfältige Untersuchung mit aufwändigen Rechnungen verbunden.
Die angegebene Folge beantwortet die bei OEIS auftretende Frage nach der Unendlichkeit der Folge A052044 in positivem Sinne. Es wäre sinnvoll, dies den Verfassern der Seite mitzuteilen.
Gruß Buri



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-19


Hallo querin,

schöne Ziffern-Muster-Erzeugende-Funktion hast Du gebastelt:
3 |                                           298524973831949497786117762799929138298529625
4 |                                    296518582973816526161497778611177762813325958138296518629625
5 |                             296318519162973814985928281497777861111777762814665926248138296318519629625
6 |                      296298518524962973814831925949481497777786111117777762814799925929148138296298518529629625
7 |               296296518518582962973814816525926161481497777778611111177777762814813325925958148138296296518518629629625
8 |        296296318518519162962973814814985925928281481497777777861111111777777762814814665925926248148138296296318518519629629625
9 | 296296298518518524962962973814814831925925949481481497777777786111111117777777762814814799925925929148148138296296298518518529629629625

Die könnte man mit String-Funktionen oder mit Bruch-Funktionen auch basteln:
table floor(8*10^(3n)/27),n=1...9
ergibt
1 | 296
2 | 296296
3 | 296296296
4 | 296296296296
5 | 296296296296296
6 | 296296296296296296
...

usw.



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querin
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19



Wenn man die Formel aus Beitrag #5 auspotenziert und bei jedem Summanden den jeweiligen Rest mod 27 subtrahiert, erhält man eine Summe von "periodischen" ganzen Zahlen mit abweichenden (aber für alle m gleichen) Anfangsziffern:

fed-Code einblenden

Etwa für m=3
296296296296296296296296296296296296296296296
  2222222222222222222222222222222222222222222
     6444444444444444444444444444444444444444
       10851851851851851851851851851851851851
          17111111111111111111111111111111111
             23555555555555555555555555555555
                16296296296296296296296296296
                    8333333333333333333333333
                       6666666666666666666666
                        -14962962962962962962
                           -14888888888888888
                                3222222222222
                                  -9851851851
                                      2222222
                                        11111
                                           -3
 

und für m=4:
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296
   222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
       64444444444444444444444444444444444444444444444444444
          10851851851851851851851851851851851851851851851851
              1711111111111111111111111111111111111111111111
                  235555555555555555555555555555555555555555
                      16296296296296296296296296296296296296
                           833333333333333333333333333333333
                               66666666666666666666666666666
                                 -14962962962962962962962962
                                     -1488888888888888888888
                                           32222222222222222
                                              -9851851851851
                                                   222222222
                                                      111111
                                                          -3
 




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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-19


Ich mach mal weiter:
floor(8*10^(3n)/27) = 8*10^(3n)/27 - 8/27

Wenn man nun ((2*(10^n)^5+5*(10^n)^4+2*(10^n)^3+4*(10^n)^2+4*(10^n)-5)/3)^3 ausmultipliziert, bekommt man die
expanded Form (klammerfreie Darstellung):
klammerfreie Darstellung
-125/27 + 
1/27 2^(3 n + 6) 5^(3 n) + 1/27 2^(4 n + 6) 5^(4 n) + 1/27 2^(4 n + 7) 5^(4 n) 
 + 1/27 2^(5 n + 5) 5^(5 n) + 1/27 2^(5 n + 8) 5^(5 n) + 1/27 2^(6 n + 8) 5^(6 n) + 1/27 2^(7 n + 4) 5^(7 n) + 1/27 2^(7 n + 5) 5^(7 n)
 + 1/27 2^(7 n + 6) 5^(7 n) + 1/27 2^(7 n + 7) 5^(7 n) + 1/27 2^(8 n + 4) 5^(8 n) + 1/27 2^(8 n + 5) 5^(8 n) + 1/27 2^(8 n + 6) 5^(8 n) 
 + 1/27 2^(8 n + 7) 5^(8 n) + 1/27 2^(9 n + 3) 5^(9 n) + 1/27 2^(9 n + 6) 5^(9 n) 
 + 1/27 2^(9 n + 7) 5^(9 n) + 1/27 2^(10 n + 5) 5^(10 n) + 1/27 2^(10 n + 6) 5^(10 n) + 1/27 2^(11 n + 3) 5^(11 n) + 1/27 2^(11 n + 6) 5^(11 n) + 1/27 2^(12 n + 4) 5^(12 n) + 1/27 2^(12 n + 5) 5^(12 n) 
 + 1/27 2^(13 n + 3) 5^(13 n) + 1/27 2^(13 n + 4) 5^(13 n) + 1/27 2^(15 n + 3) 5^(15 n) + 1/27 2^(n + 3) 5^(n + 2) 
 - 1/27 2^(2 n + 4) 5^(2 n + 1) - 1/27 2^(2 n + 5) 5^(2 n + 1) + 1/27 2^(2 n + 3) 5^(2 n + 2) 
 - 1/27 2^(3 n + 5) 5^(3 n + 1) - 1/27 2^(3 n + 6) 5^(3 n + 1) + 1/27 2^(3 n + 1) 5^(3 n + 2) - 1/27 2^(4 n + 5) 5^(4 n + 1) - 1/27 2^(4 n + 6) 5^(4 n + 1) 
 + 1/27 2^(4 n) 5^(4 n + 3) + 1/27 2^(4 n + 1) 5^(4 n + 3) 
 - 1/27 2^(5 n + 4) 5^(5 n + 1) - 1/27 2^(5 n + 5) 5^(5 n + 1) 
 + 1/27 2^(5 n + 1) 5^(5 n + 2) - 1/27 2^(5 n + 3) 5^(5 n + 2) - 1/27 2^(5 n + 4) 5^(5 n + 2) - 1/27 2^(6 n + 2) 5^(6 n + 1) - 1/27 2^(6 n + 3) 5^(6 n + 1) 
 - 1/27 2^(6 n + 3) 5^(6 n + 2) - 1/27 2^(6 n + 4) 5^(6 n + 2) - 1/27 2^(7 n + 4) 5^(7 n + 1) + 1/27 2^(7 n + 6) 5^(7 n + 1) - 1/27 2^(7 n + 3) 5^(7 n + 2) - 1/27 2^(8 n + 3) 5^(8 n + 1) 
 + 1/27 2^(8 n + 4) 5^(8 n + 1) + 1/27 2^(8 n + 6) 5^(8 n + 1) 
 - 1/27 2^(8 n) 5^(8 n + 3) - 1/27 2^(8 n + 1) 5^(8 n + 3) 
 + 1/27 2^(9 n + 4) 5^(9 n + 1) + 1/27 2^(9 n + 5) 5^(9 n + 1) + 1/27 2^(10 n + 4) 5^(10 n + 1) 
 + 1/27 2^(10 n + 5) 5^(10 n + 1) + 1/27 2^(10 n + 3) 5^(10 n + 2) + 1/27 2^(11 n + 4) 5^(11 n + 1) + 1/27 2^(11 n + 5) 5^(11 n + 1) + 1/27 2^(11 n + 1) 5^(11 n + 2) + 1/27 2^(12 n + 3) 5^(12 n + 1) 
 + 1/27 2^(12 n + 4) 5^(12 n + 1) + 1/27 2^(12 n) 5^(12 n + 3) + 1/27 2^(13 n + 1) 5^(13 n + 2) + 1/27 2^(14 n + 2) 5^(14 n + 1) + 1/27 2^(14 n + 3) 5^(14 n + 1) 
 + 10^(n + 2)/27 + 1/27 10^(2 n + 2) + 1/27 10^(3 n + 2) + 1/27 10^(5 n + 2) - 1/27 10^(7 n + 2) + 1/27 10^(10 n + 2) + 1/27 10^(11 n + 2) + 1/27 10^(13 n + 2)
dann 2er und 5er Potenzen zur 10er Potenz zusammenfassen:
2^(3 n + 6)*5^(3 n) = 10^(3n)*2^6 usw.

und schon hat man lauter summierte 27tel mit 10^irgendwas Verschiebung,
was ja meine Idee mit der floor-Funktion war.

Ach ich sehe gerade, dass querin das auch schon schön übersichtlich hingeschrieben hat.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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hyperG
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Nun könnte man zur besseren Übersicht die nicht ganz periodischen Bruch-Terme (vorn bei 10 Termen anders) in 2 Teile wandeln: Periodisch + Rest:
 (174*10^(13*x)-12)/27 = [4/9 (10^(13 x + 1) - 1) + 2*10^(13x)]
denn es geht ja noch um die Randbereiche, wo ein Wechsel der periodischen Ziffern auftritt.

In diesem Fall kommt vorn immer nur bei der ersten Ziffer ein Offset 2 hinzu, was bei Aufsummierung nicht 0 werden kann.

Die Summation der periodischen Terme ist dann auch periodisch.

Mit viel Fleissarbei nun noch die anderen 9 Terme wandeln...
(habe gerade nicht die Zeit dafür)




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querin
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Es gibt unendlich viele nullfreie Kubikzahlen.

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hyperG
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Ja super fleißig!

Ich hatte mich zunächst gewundert, dass bei einigen Ergebnissen (glaube m=51111) plötzlich die 799 auftauchte.

Deshalb meine Bemerkung "Mit viel Fleissarbei nun noch die anderen 9 Terme wandeln.."

Mit dem s[5] ist das nun auch klar. Sehr schön und interessant dazu.



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