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Integration » Riemannsche Summen » Riemann-Integral: Einfliessende Annahmen in "gleichmässige" Zerlegung
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Universität/Hochschule Riemann-Integral: Einfliessende Annahmen in "gleichmässige" Zerlegung
traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-13


Hallo,

Ich habe hier eine schöne Präsentation mit dem Titel "Billard und Zahlentheorie" gefunden. Auf S. 9 wird das Kronecker-Weyl-Theorem (oder eher ein einfacher Spezialfall davon) formuliert und ein Beweis skizziert:



Der Beweis geht noch weiter, aber ich habe zu diesem Schritt eine Frage: Bei diesem Riemann-Integral hat man sich auf spezielle Zerlegungen aus Teilintervallen der Länge $\frac{1}{n}$ beschränkt. Ist dies eine Einschränkung der Allgemeinheit? Gibt es Funktionen, für welche zwar dieser Grenzwert hier existiert, aber nicht mehr, wenn man beliebige Zerlegungen betrachtet?



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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-13


Hallo,

ergänze $\pi$ zu einer Hamelbasis $B$ des $\mathbb{Q}$-VR $\mathbb{R}$. Setze $f(\pi)=0$ und erweitere f beliebig auf $B$. Setze
$$f(\sum_{x\in B}\alpha_xx)=\sum_{\alpha_x\neq 0}f(x).$$ Die so definierte Funktion ist $2\pi$-periodisch (genauer sind sogar rationalen Vielfachen von $\pi$ Perioden), also definiert sie eine Funktion auf dem Kreis. Trivial ist, dass $f(n\alpha)=f(\alpha)$ für alle $n\in\mathbb{Z}, n\neq 0$; eine kleine Überlegung lehrt sogar, dass für beliebige $c,\alpha$ $(f(c+n\alpha))_n$ schließlich konstant ist. Also existiert der linke Grenzwert für beliebigen Startwert und beliebiges $\alpha$; die rechte Seite hingegen ist sicherlich nicht Riemann-integrabel, falls $f\neq 0$. Denn dann gibt es dichte Teilmengen, auf denen f konstant ist, wobei die auf diesen Mengen angenommenen Werte verschieden sind.
Wahrscheinlich ist f i.A. sogar nicht einmal Lebesgue-messbar.
[Edit]: Ja, das folgt so: f verschwinde auf B mit Ausnahme von $x$. Wir betrachten f als Funktion auf $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi$. Zu jedem $z\in\mathbb{T}$ gibt es genau ein $q\in\mathbb{Q}$ derart, dass $f(z-qx)=0$. Also sind für $q\in\mathbb{Q}$ die Mengen $$A_q=\{z\in\mathbb{T},f(z-qx)=0\}$$ eine Partition von $\mathbb{T}$. Nun sind besagte Mengen Translationen voneinander. Das übliche Vitali-Argument zeigt nun, dass die $A_q$ und mithin auch f nicht messbar sein können.
Man kann sogar noch mehr beweisen: f ist genau dann (Borel- oder sogar Lebesgue-)messbar, wenn f verschwindet. Sei dazu oBdA f(x)>0 und sei f messbar. Wieder bilden die Mengen $$A_q=\{z\in\mathbb{T},f(z-qx)=\min_{q'\in\mathbb{Q}} f(z-q'x)=:g(z)\}$$ eine Partition bestehend aus Translaten. g ist messbar als Infimum einer abzählbaren Familie messbarer Familie messbarer Funktionen. Also sind auch die $A_q$ messbar und das Vitali-Argument führt zum Widerspruch.


MfG
egndgf



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