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Analysis » Funktionen » monotone lineare Funktion
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Universität/Hochschule monotone lineare Funktion
LisaB
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-14

\(\begingroup\)
Ich versuche gerade zu beweisen:

\[ Sei \ t \rightarrow f(t) \ monoton \ wachsend, \ stetig \ in \ 0 \ mit \ \lim\limits_{t \rightarrow 0} f(t) = 0 \ und  \ linear \ mit \ f(t+s) = f(t) + f(s)  \ für \ s,t \in \mathbb{N_0}. \ Dann \ soll \ hieraus \ folgen:\ f(t) = t*f(1) \ für \ t \geq 0.  \]
Ich denke die Hauptaufgabe liegt nur noch darin zu zeigen, dass diese Funktion auch für rationale Zahlen linear ist ...
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-14


Hallo,
so wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie nicht richtig.
Definiere f(x)=0 für x<=1/2, f(x)=1 für 1/2<x<1 und
f(x)=x für x>1.
f scheint die geforderten Eigenschaft zu haben.
Allerdings gilt f(1/2)=0 ist ungleich 1/2=1/2*f(1).
Gruß Orthonom



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LisaB
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-14






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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-15


Hallo LisaB,

mein Beispiel kann man leicht in eine stetige Funktion umwandeln:
f(x)=0 für x<=1/2,
f(x)=2x-1 für 1/2<x<1,
f(x)=x für x>=1.
Auch für diese Funktion gilt
f(1/2)=0 ist ungleich 1/2=1/2*f(1).
Also kannst Du es mit der zusätzlichen Voraussetzung
f überall stetig auch nicht für alle rationalen Zahlen zeigen.

Würde die Aussage für alle rationalen Zahlen gelten,
dann könnte man sie mit der Stetigeit auf alle reellen Zahlen
übertragen, da hast Du allerdings recht.

Viele Grüße
Orthonom




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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-15


Wenn die Gültigkeit der Funktionalgleichung f(s+t)=f(s)+f(t) nur für ganzzahlige s und t gefordert wird, dann kann man daraus nicht die Linearität für nicht-ganzzahlige Werte folgern.
Üblicherweise benötigt man zwei Voraussetzungen:
a) Die Gültigkeit von f(s+t)=f(s)+f(t) für alle s und t aus <math>\displaystyle \IR</math> (oder zumindest für alle s und t aus <math>\displaystyle \IQ</math>).
b) Monotonie von f oder Stetigkeit von f



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