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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Frage zu Potenzmengen
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Universität/Hochschule J Frage zu Potenzmengen
m43Felix
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-17




Hallo Freunde,

Bei einem Übungsbeispiel ist eine Menge A = {ø,{1},{{1}}} gegeben.

Die Frage ist jetzt ob, {{{{1}}}} auch eine echte Teilmenge der Potenzmenge ist.

Leider hab ich das mit der echten Teilmenge glaub noch nicht ganz verstanden: nach den Vorlesungsunterlagen ist z.B eine Menge B eine echte Teilmenge von C, wenn B einerseits eine Teilmenge von C darstellt, C aber andererseits ≠ B ist.

In diesem Fall hätte ich argumentiert, {{{{1}}}} wäre keine echte Teilmenge von A, da sie in der Potenzmenge ja nicht vorkommt.

Habe ich da Unrecht ??

Würde mich über eine Antwort oder sogar eine Erklärung recht freuen. :)



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1336
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-17

\(\begingroup\)
Hallo,

um zu entscheiden ob $\{\{\{\{1\}\}\}\}$ eine echte Teilmenge von $\mathcal{P}(A)$ ist, musst du untersuchen, ob $\{\{\{1\}\}\}$ ein Element von $\mathcal{P}(A)$ ist. (Wenn ich mich jetzt nicht bei den Mengenklammern vertan habe)

Übrigens fehlt in deiner Lösung zur Potenzmenge die leere Menge $\emptyset$. (Nicht zu verwechseln mit $\{\emptyset\}$, was die Menge ist, welche die leere Menge als Element enthält.)

Wenn eine endliche Menge $n$ Elemente hat, dann hat die Potenzmenge $2^n$ Elemente.
\(\endgroup\)


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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2145
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-17

\(\begingroup\)
Hallo,

eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch in B vorkommt. Bei dir ist A = {{{{1}}}}, also eine Menge mit genau einem Element, {{{1}}}. Dieses kommt in der Potenzmenge vor, du hast sie ja explizit hingeschrieben. Damit ist die Bedingung erfüllt, also ist es eine Teilmenge.

(Echt ist sie außerdem, schon wegen der Elementanzahl, aber obwohl es logisch erscheint, hab ich tatsächlich noch nie gesehen, dass irgendwer das Zeichen $\subset$ für "echte Teilmenge" benutzt, immer nur $\subsetneq$ u.ä. Check das ggf. nochmal.)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4141
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-17

\(\begingroup\)
Hallo m43Felix,

wie PrinzessinEinhorn bereits anmerkte, fehlt bei dir \(\emptyset\) in \(P(A)\). Außerdem ist \(\{1\}\) falsch. Es muss \(\{\{1\}\}\) lauten.

Außerdem: was ist \(a\)? Ist \(a=\emptyset\)?

(Die Bezeichnung \(\subset\) für "echte Teilmenge" ist mir übrigens durchaus geläufig.)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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m43Felix
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Vielen Dank für euer Feedback!!! :)

Das ist auch in der Angabe ein a, außerdem habe ich das ø offensichtlich vergessen. Sehe auch, dass {1} falsch ist, hier habe ich ein Paar Mengenklammern vergessen!

Ok, da ich ja in der unter anderem in der Potenzmenge P(A) das Element {{{1}}} habe, wäre {{{{1}}}} folglich eine Teilmenge. Das äußerste Paar Mengenklammern müsste man sich dann einfach "wegdenken", wenn ich das richtig verstanden habe :D



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2145
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-17


2018-02-17 15:53 - m43Felix in Beitrag No. 4 schreibt:
Das äußerste Paar Mengenklammern müsste man sich dann einfach "wegdenken", wenn ich das richtig verstanden habe :D
Das äußere Paar Mengenklammern steht auch bei der Potenzmenge. Bloß weiter weg.



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m43Felix
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Hallo ligning,

Bedeutet dass, wenn ich in der Potenzmenge unter anderem {{{1}}} gegeben habe, also P(A) = {....,{{{1}}},..,.} dann ist auch {{{{1}}}} eine Teilmenge von P(A)? zum Element in der Potenzmenge kommen in diesem Fall einfach die äußeren Klammern dazu.

Bin hier leider etwas schwer von Begriff, aber vielen Dank für die Hilfe !



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2145
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-17


Ich versteh nicht den Hintergrund der Frage. Das ist doch genau das Thema des Threads gewesen und sollte eigentlich geklärt sein.  confused



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-17


"kommen einfach die äußeren Klammern hinzu" ist eine falsche oder zumindest sehr missverständliche Begründung, die du dir keinesfalls merken solltest.

{{{{1}}}} ist eine Teilmenge von P(A), wenn jedes Element von {{{{1}}}} ein Element von P(A) ist. Du musst dich jetzt nur fragen, welche Elemente {{{{1}}}} besitzt und ob die in P(A) vorkommen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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m43Felix
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Demnach besäße {{{{1}}}} die Elemente ø und {{{{1}}}}, welche beide in P(A) vorkommen ?



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 4141
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-17


Nein. ø und {{{{1}}}} sind beides keine Elemente von {{{{1}}}}.



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-17


{{{{1}}}} besitzt das Element {{{1}}} und sonst keins. Das ist genau das, was die Schreibweise aussagt. Es ist eine erschöpfende Auflistung aller Elemente, in ein Paar von geschweiften Klammern gehüllt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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m43Felix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Ok, dann habe ich hier etwas grundlegend nicht verstanden. Werde besser nochmal die Theorie durchgehen und darüber grübeln

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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m43Felix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Muss mich nochmal herzlich bei Euch bedanken!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-02-17



Demnach besäße {{{{1}}}} die Elemente ø und {{{{1}}}}, welche beide in P(A) vorkommen ?

Vielleicht verwechselst du das damit, dass die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist, aber nicht notwendigerweise ein Element.




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m43Felix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Ja genau :D



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viertel
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Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-02-17


Hi m43Felix

Um mit dem Teilmengen- und Klammerwirrwarr klar zu kommen, ersetze doch erst mal die Elemente von <math>A</math> durch <math>x:=a</math>, <math>y:=\{1\}</math> und <math>z:=\{\{1\}\}</math>. Dann bist du die lästigen Klammern los und es ist <math>A=\{x,y,z\}</math>.
Die Potenzmenge von <math>A</math> kann man jetzt auch leicht hinschreiben:
<math>\mathcal{P}(A)=\{\emptyset, \{x\}, \dots, \{x,y,z\}\}</math>

Um nun zu entscheiden, ob <math>\{\{\{\{1\}\}\}\} \subset \mathcal{P}(A)</math>, muß <math>\{\{\{1\}\}\}=\{z\} \in \mathcal{P}(A)</math> gelten. Und das ist klar mit „ja“ zu beantworten.

Gruß vom ¼


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m43Felix
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.10.2017
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-17


Hallo ¼,

Super Antwort, Danke nochmal. Glaub, es jetzt verstanden zu haben! :)

LG und Danke aus Linz

Felix



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