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Mechanik » Kinematik des starren Körpers » Rotationssymmetrischer Trägheitstensor zeitunabhängig
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Universität/Hochschule Rotationssymmetrischer Trägheitstensor zeitunabhängig
Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-17

\(\begingroup\)
Hallo!

In einem (Ingenieur-)Paper, welches gyroskopische Effekte in Magnetlagern abhandelt, bin ich auf folgende Passage gestoßen:


For a general body, the Euler equations are given in a body fixed reference
frame, because of the constant matrix of inertia. However, in the case of rotational symmetric rotors, the matrix of inertia is also constant in a non-body fixed frame. The Euler equations in a non-body fixed frame are given as:
\[\begin{equation*}\mathbf\Theta\mathbf{\dot\omega}+\mathbf\Omega\times(\mathbf\Theta\mathbf\omega)=\mathbf M\end{equation*}\] where \(\mathbf\Omega\) is the angular velocity vector of the chosen coordinate system, \(\mathbf\omega\) is the angular velocity vector of the body, \(\mathbf\Theta\) is the moment of inertia matrix and \(\mathbf M\) is the torque vector.
(Hervorherbung durch mich)

Ich sehe da ehrlich gesagt keinen Zusammenhang. Ich weiß, dass wenn \(R\in\mathrm{SO}(3)\) die Rotation sein soll, unter der die Masseverteilung des Rotors invariant ist, sprich \(\rho(v)=\rho(Rv)\ \forall v\in\mathbb R^3\), dann ist die zugehörige Rotationsachse eine Hauptträgheitsachse.

Die tatsächliche Rotationsbewegung des Rotors wird aber garantiert nicht durch \( R \) beschrieben (sonst wäre das Problem ja schon gelöst), weswegen der Rotor unter der realen Rotationsbewegung sicher nicht symmetrisch ist. Im Paper werden die Winkel, die die Rotorachse verkippen zwar klein-winkel-genähert (also 1. Ordnung), aber hier die Eulergleichungen für das raumfeste System benutzen zu wollen ist m.E. de facto eine Näherung, in der alle Winkel 0 gesetzt werden und die nur stimmt, wenn der Rotor langweilig die ganze Zeit um seine Hauptträgheitsachse dreht.
Übersehe ich etwas? Mir will nicht so recht in den Kopf, wieso man hier die Verwendung von z.B. Eulerwinkeln und die ganzen Unannehmlichkeiten der Transformation vom körper- ins raumfeste System vermeiden kann, aber gleichzeitig gyroskopische Effekte untersuchen möchte.
\(\endgroup\)


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Spock
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Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-18


Hallo!

Du hast natürlich Recht, in einem Inertialsystem ist der Trägheitstensor i.A. zeitabhängig, und will man gyroskopische Effekte in einem Inertialsystem untersuchen, läßt sich diese Zeitabhängigkeit nicht so ohne weiteres "wegnähern".

Was man bei rotationssymmetrischen Körpern machen kann, ist so etwas wie eine Kleinwinkelnäherung mit dem Ergebnis, daß die Hauptträgheitsmomente zeitunabhängig bleiben, es entstehen aber trotzdem zeitabhängige Außerdiagonalelemente des Trägheitstensors.

Schau mal in das Buch von W. Schiehlen "Applied Dynamics", dort in Kapitel 3, Beispiel 3.2 wird so etwas vorgerechnet.

Gruß
Juergen



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Tirpitz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 596
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-18

\(\begingroup\)
Hi, danke für die Antwort.

Leider habe ich das Buch nicht zur Hand und kann jetzt nicht in die UB. Allerdings kann ich ja versuchen, selber auf die Rechnung zu kommen.

Mein Ansatz ist jetzt der folgende: Wenn der Rotor um eine Achse, die ich jetzt z nenne, rotationssymmetrisch ist, dann hat der Trägheitstensor eines um einen Winkel \(\omega t\) um die z-Achse rotierten Körpers immer noch die gleichen (i.A. dennoch zeitabhängigen) Komponenten, aber die Zeitabhängigkeit rührt jedenfalls nicht vom \(\omega t\) her.

Wenn \(R(t):\mathbb{R}\to\mathrm{SO}(3)\) die momentane Drehmatrix ist, dann kann ich sie ja über die Eulerwinkel in z-x'-z''-Konvention ausdrücken wie \(R(t)=R_{z''}(\gamma(t))R_{x'}(\beta(t))R_z(\omega t)\), wobei \(\beta(t),\gamma(t)\) die gyroskopischen Neigungen sind und \(\omega\) der Winkelgeschwindigkeitsbetrag um die z-Achse ist.

Da die erste Rotation um die z-Achse keine Rolle spielt, kann ich die Bewegung genau so gut mit den verbleibenden beiden Matrizen beschreiben: \(R(t)=R_{z''}(\gamma(t))R_{x'}(\beta(t))=R_x(\beta(t))R_z(\gamma(t))\). Wenn ich die Matrizen kleinwinkelnähere und alles von der Ordnung \(O(\beta^2,\gamma^2,\beta\gamma)\) wegschmeiße, erhalte ich

\[R(t)\approx\begin{pmatrix}1&-\gamma(t)&0\\\gamma(t)&1&-\beta(t)\\0&\beta(t)&1\end{pmatrix}\]
Sowohl raum- als auch körperfeste Winkelgeschwindigkeiten \(\omega=\dot RR^{-1}, \tilde\omega=R^{-1}\dot R\) sind in dieser Ordnung identisch:
\[
\omega=\tilde\omega=\begin{pmatrix}0&-\dot\gamma&0\\\dot\gamma&0&-\dot\beta\\0&\dot\beta&0\end{pmatrix}
\]
Wenn ich also die Eulergleichung für ein um die z-Achse mit \(\omega t\) rotierendes System löse, habe ich die Eulerwinkel für das raumfeste System und damit die Lösung. Stimmt meine Überlegung da so in etwa?
\(\endgroup\)


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